Виды дисперсий. Правило сложения дисперсий

Принцип расчета дисперсии (среднего квадрата отклонений) в общем виде рассмотрен в теме 6. Применительно к дисперсионному методу это означает, что каждому виду вариации соостветствует определенная дисперсия.

Если статистическая совокупность сгруппирована по заданному признаку, то возможен расчет следующих видов дисперсий.

Во-первых, определяется общая дисперсия результативного признака, которая сформировалась под влиянием всех факторов. Она представляет собой средний квадрат отклонений:

–простой (для ранжированного ряда) по формуле

(9,4)

где n–число единиц в статистической совокупности;

–взвешенный (для дискретного или интервального ряда) по формуле

(9,5)

где f – локальная частота вариант.

Во-вторых, межгрупповая дисперсия результативного признака, которая характеризует систематическую вариацию, сформированную под влиянием факторного признака, положенного в основание аналитической группировки:

(9,6)

где f – частота вариант в группах.

В-третьих, индивидуальные внутригрупповые дисперсии результативного признака, характеризующие случайную вариацию, сформированную под влиянием всех других, неучитываемых факторов, и независящую от условия (признака-фактора), положенного в основание группировки:

(9,7)

В четвертых, средняя внутригрупповая дисперсия результативного признака, рассчитываемая как средневзвешенная из индивидуальных внутригрупповых дисперсий:

(9,8)

Теоретически доказано, что приведенные дисперсии подчинены определенному правилу: общая дитсперсия равна сумма систематической и средней внутригрупповой дисперсии, т. е.

(9,9)

Это озночает, что общая дисперсия результативного признака, сформированная под воздействием всего комплекса факторов, должна быть равна суиие дисперсии, возникшей под влиянием изучаемого фактора и средней дисперсии, сформированной за счет влияния всех факторов.

Формулу 9.9 принято называть правилом сложения дисперсий. Это правило можно проверить на вышеприведенном примере, т.е. по данным о влиянии химобработки посевов картофеля против фитофтороза на урожайность культур (по материалам выборочного наблюдения в 100 крестьянских хозяйствах).

Так как объём общей вариации уже рассчитан (табл. 9.2.), то общая дисперсия урожайности составит:

В свою очередь по данным факторной вариации (табл.10.5) находим межгрупповую дисперсию урожайности картофеля:

Теперь необходимо рассчитать четыре индивидуальные внутригрупповые дисперсии, так как согласно условию примера для нахождения объема вариации было сформировано 4 группы (табл.9.5). Развернутый расчет вспомогательных данных для определения внутригрупповой дисперсии, характеризующей влияние случайных факторов на изменение урожайности картофеля, приведём на примере первой группы (табл.9.6).

Т а б л и ц а 9.6. Расчет объёма случайной вариации

урожайности картофеля (первая группа)

№ п.п.	Урожайность, ц/га	Линейное отклонение от средней групповой урожайности	Квадраты линейных отклонений	№ п.п.	Урожайность, ц/га	Линейное отклонение от средней групповой урожайности	Квадраты линейных отклонений
	у				у
		-50
		-50
		-40
		-40
		-30
		-30
		-20
		-10
ИТОГО

Из данных табл. 9.6 видно, что объём случайной вариации в первой группе составил 21,2 тыс.ед. Анналогичным образом рассчитываем объём случайной вариации в 2,3 и 4 группах. Они и составили соответственно 52,2, 57,6 и 44,0 тыс. ед. Всвою очередь внутригрупповые дисперсии составляют:

–в первой группе

– во второй группе

– в третьей группе

– в четвёртой группе

Среднюю внутригрупповую (случайную) дисперсию урожайности картофеля расчитываем по формуле…

Поскольку все дисперсии (общая, межгрупповая, внутригрупповая) расчитаны, то можно проверить правило сложения дисперсий (формула…)

Использование правила сложения дисперсии позволяет рассчитать искомую дисперсию, если известны любые две из трех дисперсий. Кроме того, с помощью этого правила можно определить и оценить удельное значение изучаемого значение изучаемого фактора во всей совокупности факторов, увеличивающих на результативный признак.

9.4. Особенности расчёта исправленных дисперсий

Второй этап решения однофакторного дисперсионного комплекса заключается в расчёте исправленных дисперсий, которые определяются на основе каждого вида вариации, т.е. находят общую, систематическую (факторную) и случайную (остаточную) исправленные дисперсии.

Новый момент, который дисперсионный метод вносит в проблему измерения вариации, касается т.н. степеней свободы вариации. Степень свободы вариации признака принято называть число свободно, независимого варьирующих единиц статистической совокупности. Это означает, что если для данного ряда из n наблюдений известна его средняя характеристика, то этот ряд имеет n – 1 степеней свободы вариации, так как любое значение признака может быть точно определено по остальным (n – 1) вариантам и их среднему значению, т.е. по численности выборки без одного. Нахождение числа степеней свободы вариации имеет существенное значение в дисперсионном методе, где довольно часто данные выборочного наблюдения используются для оценки генеральной совокупности. Из теории выборочного метода (тема 6) известно, что вариация признака в генеральной совокупности в среднем больше вариации в выборочной совокупности в раз. Если на основе вариации, характеризующей выборочную статистическую совокупность, судить о мере вариации в генеральной совокупности, то дисперсия признака в генеральной совокупности может быть найдена следующим образом:

(9.10)

где – дисперсия результативного признака в генеральной совокупности (исправленная дисперсия); – дисперсия результативного признака в выборочной совокупности; n – численность выборки.

Целесообразно обратить внимание на то, что при использовании множителя для расчёта исправленной дисперсии численность выборки (n) сокращается, а исправленные общие, систематические и случайные дисперсии находятся как отношение объёма соответствующих вариаций к числу степеней свободы этих вариаций.

Общая исправленная дисперсия результативного признака, вызванная влиянием всего комплекса факторов, представляет собой объём общей вариации, приходящийся на одну степень свободы этой вариации, т. е.

(9.11)

где п– численность выборочной совокупности.

Применительно к данным приведенного выше примера(см. первый этап) общая дисперсия урожайности картофеля в крестьянских хозяйствах составляет:

Систематическая (факторная) исправленная дисперсия признака–результата, которая обусловлена влиянием изучаемого факторного признака, представляет собой объём факторной вариации в расчете на одну степень свободы этой вариации. Она может быть рассчитана следующим образом:

(9.12)

где N – число групп в аналитической группировке, по которой находят факторную вариацию.

По данным приведенного выше примера (см. первый этап) рассчитываем факторную дисперсию урожайности картофеля. Эта дисперсия обусловлена влиянием удельного веса посевов, обработанных против фитофтороза, на урожайности культуры:

Случайная (остаточная) исправленная дисперсия результативного признака вызвана влиянием всех остальных факторов результативного признака вызвана влиянием всех остальных факторов, за исключением изучаемого факторного признака и представляет собой случайную вариацию, которая приходится на одну степень свободы этой вариации, т. е.

(9.13)

Для приведенного выше примера (см. первый этап) находим случайную (остаточную) дисперсию урожайности картофеля. Дисперсия обусловлена влиянием на урожайность всего комплекса факторных признаков, за исключением удельного веса посевов, обработанных против фитофтороза, по формуле 9.13:

Таким образом, найденные исправленные дисперсии дают возможность перейти к следующему этапу решения однофакторного дисперсионного комплекса.

Дата добавления: 2014-11-29