IV.1. Однократные итерационные циклы

IV. ЦИКЛИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА УПРАВЛЕНИЯ

(БЕЗ ИНДЕКСАЦИИ)

Инструментальные средства программирования: условные и составные операторы, операторы цикла, но пока никаких массивов.

1. (Факториал.) Вычислить т = n!

2. (Одна замечательная формула.) Для заданного n вы­числить S_n = 1³+2³+ … + n ³ и T_n = 1+2+ … + n и установить, имеет ли место равенство S_n = T_n ². (Тождество S_n = T_n ² нетрудно доказать по индукции, однако здесь программируй­те!)

3. (Приближенное вычисление определенных интегралов.) Вычислить приближенное значение I_n определенного интеграла по одной из квадратурных формул с числом шагов интегрирова­ния, равным n. В приводимых ниже формулах , x_i = a + ih, y_i = f (x_i).

Формула прямоугольников: I_n = h [ y ₀ + y ₁ + … + y_{n –1}].

Формула трапеций: I_n = h [(y ₀ + y_n)/2 + y ₁ + y ₂ + … + y_{n –1}].

Формула Симпсона (n четно):

.

Варианты задания (везде n = 100):

a) , ;

б) , ;

в) , .

Вычислить погрешность | I – I_n | использованной приб­лиженной формулы, учитывая, что истинные значения соответ­ствующих интегралов равны соответственно

a) 1.35011...; б) ;в) .

4. (Гармонический ряд. Константа Эйлера-Маскерони.)

а) Вычислить сумму n первых членов гармонического ряда:

б) Для заданного t > 1.0 вычислить n, при котором H_n > t ³ H_{n– 1}.

в) Известно, что , где 0 < e_n £ , а g – некоторая константа, назы­ваемая константой Эйлера-Маскерони. Вычислить значение константы g с заданной точностью e. (Известно, что

g = 0.5772156649015328606065120900824024310422...).

5. (Знакопеременный ряд Грегори.)

а) Вычислить сумму n первых членов ряда Грегори

четырьмя способами: сложить члены (1) слева направо и (2) справа налево; сложить сначала отдельно положительные, а затем отрицательные члены (3) слева направо и (4) справа налево. Полученные результаты напечатать и объяснить расхож­дение в результатах (если оно имеется).

б) Если вычислять S_n способом (1), то , ког­да n ® ¥. Для заданного e = 0.0001 найти наименьшее n такое, что . (Считать, что p = 3.1415926.)

6. (Постоянная Каталана.) Вычислить приближенное зна­чение постоянной Каталана – следующей знакопеременной суммы:

,

"обрывая" суммирование:

а) на n -ом члене;

б) как только очередной член ряда становится по абсолютной величине £ e.

7. (Произведение Валлиса.) Положим

.

Для заданного e > 0 вычислить первое n, при котором . (Известно, что при n ® ¥.)Считать, что p = 3.1415926.

8. (Ряд Гаусса.) Положим

,

где 0 < p < q – целые числа. Известно, что

.

Вычислить E_n = | S_n (p, q) – S (p, q)| для заданных n, p, q.

9. (Некоторые интересные суммы.) Вычислить суммы

а) ;	в) ;
б) ;	г) .

(Рядом с суммами указаны их значения при n = ¥.)

10. (Вычисление конечных сумм.) Вычислить:

а) ;	в) ;
б) ;	г) ,

где (2 m)!!=2·4· …· (2 m) и (2 m +1)!!=1·3·5·…· (2 m +1).

Указание. Здесь можно использовать схему Горнера.

Например,

11. (Вычисление конечных сумм и произведений.) Вычислить:

а) ;	в) ;
б) ;	г) .

12. (Некоторые хорошо известные разложения функций в ряд.) Вычислить приближенные значения функций, используяихразложения в ряд и суммируя члены от первого до (исключи­тельно) члена (с наименьшим номером), не превосходящего по абсолютной величине e:

а) ;	в) , |x|< 1;
б) ;	г) .

13. (Число p = 3.1415926535897932384626433832795...) Вычислить приближенное значениечисла p по формуле: , где , |x| <1. При вычислении бесконечной суммы учесть только те слагае­мые, которые по абсолютной величине ³ e = 0.0001.

14. (Вычисление конечных сумм.) Вычислить суммы, суммируя по тем k = 1,2,..., для которых t_k ³ e:

а) , ; б) , .

15. (Попадание в интервал.) Целые числа l, k, n, a ₁, …, a_n определяются вводом и последовательно обрабатываются програм­мой. Вычислить, сколько введено чисел a_i, которые:

а) принадлежат интервалу (l, k ];

б) кратны l и при делении на k дают в остатке 1, 2 или 3.

Другой вариант задания. Определить числа a_i явно, например: a_i = i ³+7 i ²-15 i +3, i =1,2,…, n.

16. (Минимум, максимум и сумма одновременно.) Последо­вательность вещественных чисел x ₁, x ₂, … определяется вводом. Вычислить минимум, максимум и сумму чисел этой по­следовательности. Считать, что x ₁ ¹ 0, а последним элемен­том последовательности является первое число x_n, равное нулю. При этом число x_n в вычислении минимума и максимума не участвует.

Другой вариант задания. Числа x_i задать явно, например, x_i = e ^{cos ix} – sin ix, i = 1,2,…, n.

17. (Число перемен знака в последовательности.) Вычислить V_n – число перемен знака в последовательности 1, cos 1, cos 2, …, cos(n –1), cos n. (Интересно отметить, что n / V_n ® p при n ® ¥.)

18. (Ближайшее к целому.) Среди чисел , k =1, 2, …, 40, найти ближайшее к какому-нибудь целому. Здесь a, b > 0 – заданные вещественные числа.

19. (Найти рекуррентность.) Для заданных натурального n и вещественных a ³ 0 и b ³ 1 вычислить:

a) (n корней);

б) (n логарифмов).

(Отметим, что x_n ® x, где – корень уравнения ; , где y – наибольший корень уравнения , при n ® ¥.)

20. (Линейные рекуррентные последовательности.) Вычис­лить значения п -ых членов последовательностей { x ₀, x ₁, …} и { y ₀, y ₁, …},определяемых рекуррентно:

а) x ₀ = a; x_k = bx_{k –1}+ c, k = 1, 2,…;

б) x ₀ = a; x ₁ = b; x_k=cx_{k –1}+ dx_{k -2}, k = 2, 3, …;

в) x ₀ = x ₁ = x ₂ = a; x_k = bx_{k –1}+ cx_{k -3}, k = 3, 4, …;

г) x ₀ = y ₀ = a, x_k = bx_{k –1}+ cy_{k –1}, y_k = dx_{k –1}+ ey_{k –1}, k = 1, 2,…;

д) x ₀ = y ₀ = a, x ₁ = y ₁ = bx ₂ = y ₂ = c; x_k = dx_{k –1}+ ey_{k –2}+ fx_{k –3}, y_k = gx_{k –1}+ hy_{k –2}, k = 3, 4,…

21. (Длина кривой.) Вычислить длину кривой y = f (x) между точками A и B, выбирая в качестве её приближенного значения длину ломаной A A ₁ A ₂… A_{n –1} B (см. рис. 4).

Указание. Длина отрезка А_i A_{i +1} равна , где h = (b – a)/ n, x_i = a + ih, i = 0,1,…, n. Исходные данные (f (x), a, b, n) подобрать самостоятельно.

22. (Поиск итерационной схемы.) Для заданных x, a ¹ 0 и n ³ 0 вычислить:

a) ; б) ; в) ; г) (s – целое).

Указания. а) Здесь y ₀ = 1; y_k = b_ky_{k –1} (k ³ 1), где b ₀ = 1/ ax; b_k = b_{k –1} x ² (k ³ 1). б) , , . в) Тропинка уже проложена. г) Здесь можно поступить так: сначала вычислить m = n^s, а затем вычислить y_n = x^m, используя степенной алгоритм (см. задачу 1.9).

23. (Вычисление конечных сумм.) Вычислить суммы:

а) ; б) ,

суммируя по тем k = 0,1,..., для которых a £ v_k £ b (0 < a < b).Последовательность v ₀, v ₁, … определена рекуррентно: v ₀ = v ₁ = a; v_k = v_{k –1}+ v_{k -2} для k = 2,3,…

24. (Суммирование рядов.) Просуммировать ряды:

а) ; б)

Суммирование по n продолжать до тех пор, пока n £ m или | a_n | ³ e, где m ³ 1 и e > 0 – заданные (нату­ральное и вещественное) числа, а a_n – n -ый член ряда.

Указание. Для вычисления b_k = cos kx и c_k = sin kx используйте следующие формулы: b ₀ = 1, c ₀ = 0, b ₁ = cos x, c ₁ = sin x; b_k = b_{k –1} b ₁– c_{k –1} c ₁, c_k = c_{k –1} b ₁ + c ₁ b_{k –1}, k = 2,3,…

(Теоретические ответы: а) ; б) .)

25. (Приближенное вычисление кубического корня.) Вычислить значение , используя итерационную формулу:

, n = 0,1,…,

где y ₀ = x /3, если х ³ 1; y ₀ = x, если х < 1. В качестве у взять y_{n +1} с наименьшим n, для которого | y_{n +1}– y_n | £ e, где e > 0 – заданное число. (Известно, что , когда n ®¥.)

26. (Как вычислить log₂ x?) Вычислить у = log₂ x (x > 0) с заданной точностью e.

Указание. Так как log₂ x = –log₂ (1/ x) и log₂ x = m +log₂ (x /2 ^m), то все сводится к умению вычис­лять у = log₂ x при 1 £ x < 2. В этом случае x = 2 ^y, где 0 £ y < 1, или для некоторых d ₁, d ₂, … Î {0,1}. Если обозначить y_n = b ₁+ b ₂ +…+ b_n, где b_i = d_i / 2 ⁱ, то | y ‑ y_n | £ b_n. Поэтому, если n таково, что b_n £ e, то y_n £ log₂ x £ y_n + e. Вычисление y_n и b_n можно провести по итерационной схеме: a ₀ = x, b ₀ = 1, y ₀ = 0; , b_k = b _{( k –1)/2}; y_k = y_{k –1} или y_{k -1} + b_{k -1} соответственно при и ; k = 1, 2, …

27. (Приближенное вычисление 1/ x при 0 < x < 2.) Последовательности { a_k } и { b_k } заданы рекуррентно:

a ₀ = 1, b ₀ = 1– x; a_k = a_{k -1}(1+ b_{k –1}), b_k = (b_{k –1})², k = 1,2,...

Вычислить a_n для наименьшего п, при котором b_n £ e (e >0). (Для такого n имеем | a_n– 1/ x | £ e / x.)

28. (Приближенное вычисление при 0< x <2.) Последовательности { a_k } и { b_k } заданы рекуррентно:

a ₀ = x, b ₀ = 1– x; a_k = a_{k –1}(1+ b_{k –1}/2), , k = 1,2,…

Вычислить a_n для наименьшего n, при котором b_n £ e (e > 0). (Для такого n имеем .)

29. (Если последовательность имеет предел, то для любо­го заданного e > 0 найдется n такое, что...) Последовате­льность { x ₀, x ₁,…} определяется рекуррентно. Найти наименьшее n, при котором | x_n‑x_{n ‑1}| £ e.

а) ; б) ; k =1,2,…; x ₀ = 0.

Замечания. При n ® ¥ a) , б) , где x – корень уравнения x= cos x.

30. (Метод Ньютона, или метод касательных.) Найти приближенное значение x корня уравнения f (x) = 0 по методу Ньютона.

Суть метода. Последовательное приближение к искомому решению x=x из заданного промежутка (a, b) осуществля­ется по итерационной формуле

x_n = x_{n –1}– f (x_{n –1}) / f¢ (x_{n –1}), n = 1,2,…

В качестве начального приближения x ₀ выбирается значение z того конца промежутка (а, b), для которого f (z) f¢¢ (z) > 0.Полагают x = x_n,для первого n, при котором

| x_n–x_{n –1}| º | f (x_{n –1})/ f¢ (x_{n –1})| £ e.

(Здесь e > 0 – некоторое заданное число, так называемая точность вычисления.) Процесс после­довательного приближения к искомому решению иллюстрируется на рис. 5.

Варианты задания (везде e = 0.0001):

а) f (x) = x ⁵ –x –0.002, (a, b)=(1.0, 1.1);

б) , (a, b)=(p, 2 p).

31. (Метод половинного деления.) Найти приближенное значение x корня уравнения f (x) = 0 с абсолютной точностью e методом половинного деления.

Суть метода. Предположим, что нам известен интервал (a, b) такой, что x Î (a, b) и f (a) f (b) < 0. Рассмотрим точку c = (a+b)/2 – середину этого интервала. Если f (c) = 0, то полагаем x=c (корень найден); если же f (c) ¹ 0, то указанную процедуру повторим для того из интервалов (а, с) или (с, b), на концах которого функция f (x) меняет знак. Этот процесс повторяется до тех пор, пока длина последнего из рассматриваемых интервалов не станет £ 2 e. Его середину берем в качестве приближенного значения x. Процесс стягивания интервалов к искомому решению иллю­стрируется на рис. 6.

Варианты задания (везде e = 0.0001):

a) , ;

б) , (a, b) = (0,1);

в) ,(a, b) = (–3,–2), (–1,0), (0,1).

32. (Метод простых итераций.) Найти приближенное значение x корня уравнения x = f (x) методом простых итераций.

Суть метода. В процессе построения элементов числовой последовательности { x ₀, x ₁,…}, определяемой рекуррентно:

x_{n +1} = f (x_n), n = 0,1,…; x ₀ = a,

находят первое n, при котором | x_n–x_{n –1}| £ e и полагают x = x_n. Здесь e > 0 и a – заданные значения, так назы­ваемые точность вычисления и начальное приближение. Процесс последовательного приближения к искомому решению иллюстри­руется на рис. 7.

Варианты задания (везде e = 0.0001):

а) f (x) = –ln(x +3), a =0;

б) f (x) = 1+9 sin(x)/2, a – любое;

в) f (x) = x ⁵–0.2, a = –1.0, 0.0 и 1.0.

33. (Requla false.–Метод ложного положения, или ме­тод секущих.) Найти приближенное значение x корня уравнения f (x) = 0 по методу секущих.

Суть метода. Выбирают два начальных приближения x ₀ и x ₁ так, чтобы f (x ₀) f (x ₁) < 0, и строят последовательные приближения

, n =1,2,…

В качестве z каждый раз выбирают x_k (с k < n) так, чтобы f (x_n) f (z) < 0 (это обеспечивает локализацию x между x_n и z). Наконец, в качестве значения x берут x_n для пер­вого n, при котором | x_{n +1} – x_n | £ e. Процесс последовате­льного приближения к искомому решению иллюстрируется на рис. 8.

Указание. Исходные данные взять из задачи 31.

Дата добавления: 2014-11-29