Приклади розв’язання типових задач. Задача.За наведеними даними про вартість основних фондів та випуск продукції підприємствами галузі (табл.) дати кількісну характеристику взаємозв’язку між

Задача. За наведеними даними про вартість основних фондів та випуск продукції підприємствами галузі (табл.) дати кількісну характеристику взаємозв’язку між цими показниками, використовуючи такі методи:

– метод аналітичного групування;

– дисперсійний аналіз;

– кореляційний аналіз.

Таблиця

Показники діяльності підприємств (млн. грн)

№ підприємства	Вартість основних фондів хі	Випуск продукції уі
	5,5	12,0
	6,0	12,4
	7,0	12,9
	7,5	13,1
	8,5	13,5
	8,7	13,6
	9,4	13,8
	10,2	14,0
	10,3	14,1
	12,1	14,4
Разом	85,2	133,8

Розв’язок

Проведемо комбіноване групування підприємств за двома ознаками: за вартістю основних фондів (факторна ознака) і випуском продукції (результативна ознака), утворивши по три групи з рівними інтервалами:

Групи підприємств за вартістю основних фондів, тис. грн	Групи підприємств за випуском продукції, тис. грн	Разом
3 – 8	8 – 13	13 – 18
5,5 – 7,7
7,7 – 9,9
9,9 – 12,1
Разом

В цій таблиці частоти концентруються по діагоналі, яка йде із лівого верхнього кута у правий нижній. Це свідчить про те, що існує прямий зв’язок між вартістю основних фондів та випуском продукції. Із зростанням розмірів основних фондів збільшується випуск продукції.

З метою оцінки лінії регресії обчислимо для кожної групи за факторною ознакою середні значення результативної та факторної ознак. Розрахунки групових середніх здійснюємо за формулою середньої арифметичної простої.

Середній обсяг випуску продукції, млн. грн.	Середня вартість основних фондів, млн. грн.
Загальні середні

Групові та загальні середні, обчислені за вихідними не згрупованими даними, занесемо в таку таблицю:

Групи підприємств за вартістю основних фондів, млн. грн.	Кількість підприємств	Середня вартість основних фондів, млн. грн.	Середній обсяг випуску продукції, млн. грн.
5,5 – 7,7		6,5	12,6
7,7 – 9,9		8,87	13,63
9,9 – 12,1		10,87	14,17
Разом		8,52	13,38

Обчислимо кількісні співвідношення між ознаками, що вивчаються:

Висновок: із збільшенням обсягу основних фондів на 1 млн грн. випуск продукції збільшується у другій групі порівняно з першою на 0,434 млн грн; в третій групі порівняно з другою – на 0,27 млн грн.

Продовженням методу аналітичного групування є дисперсійний аналіз, який досліджує механізм взаємодії факторної і результативної ознак і дає кількісну оцінку тісноти зв’язку між ними.

Для обчислення загальної дисперсії за індивідуальними даними доповнимо вихідні дані допоміжними розрахунковими даними:

№ підприємства	Випуск продукції, млн грн	у^2
	12,0	144,0
	12,4	153,76
	12,9	166,41
	13,1	171,61
	13,5	182,85
	13,6	184,96
	13,8	190,44
	14,0	196,0
	14,1	198,81
	14,4	207,36
Разом	133,8	1795,60

Загальна дисперсія випуску продукції буде становити:

У даному випадку загальна дисперсія показує варіацію (зміну) випуску продукції підприємств під впливом всіх можливих факторів.

Для обчислення між групової дисперсії заповнюємо таку таблицю:

Групи підприємств за вартістю основних фондів, млн.грн	Кількість підприємств f	Середній обсяг випуску продукції, млн.грн,			*f
5.5 – 7.7		12,6	-0,78	0,6084	2,4336
7.7 – 9.9		13,63	0,25	0,0625	0,1875
9.9 – 12.1		14,17	0,79	0,6241	1,8734
Разом		13,38			4,4934

Міжгрупова дисперсія:

Міжгрупова дисперсія показує варіацію випуску продукції за рахунок впливу зміни розміру основних фондів, тобто варіацію результативної ознаки під впливом факторної ознаки.

Середню із групових дисперсій обчислюємо, використовуючи правило складання дисперсії, за формулою:

Середня із групових дисперсія показує варіацію результативної ознаки, в одному випадку випуску продукції, під впливом всіх інших чинників, крім факторної ознаки.

Кількісна оцінка щільності зв’язку характеризується показником кореляційного відношення.

В даному випадку показник кореляційного відношення близький до 1, що свідчить про досить тісний зв’язок між випуском продукції та розміром основних фондів підприємств. Варіація випуску продукції підприємств на 91,3% залежить від варіації обсягу основних фондів і на 8,7% від варіації інших факторів.

Для встановлення достовірності обчисленого кореляційного відношення скористаємося Критерієм Фішера (F-критерієм):

Знаходимо Fт при ймовірності 0,95 і даних ступенях вільності за математичною таблицею. Воно становить 4,74. Отже, Fф > Fт (17,5>4,74), що свідчить про те, що кореляційне відношення можна вважати вірогідним, а зв’язок між розміром основних фондів і випуском продукції доведеним.

Характеристикою кореляційного зв’язку є теоретична лінія регресії, що описується функцією Y=f(x), яка називається рівнянням регресії. Оскільки із зміною факторної ознаки (вартість основних фондів) результативна ознака (випуск продукції) змінюється більш-менш розмірно, то така залежність є лінійною і виражається рівнянням: Y=a+bx. Параметри рівняння прямої визначимо шляхом розв’язку системи нормальних рівнянь:

Для визначення параметрів рівняння регресії будуємо розрахункову таблицю:

№ підприємства	Вартість основних фондів, млн.грн	Випуск продукції, млн.грн.	ху	х^2	у^2	Ух
	5,5	12,0	66,0	30,25	144,0	12,3
	6,0	12,4	74,4	36,0	153,76	12,5
	7,0	12,9	90,3	49,0	166,41	12,8
	7,5	13,1	98,25	56,25	171,61	13,0
	8,5	13,5	114,75	72,25	182,25	13,4
	8,7	13,6	118,32	75,69	184,96	13,4
	9,4	13,8	129,72	88,36	190,44	13,7
	10,2	14,0	142,80	104,04	196,0	14,0
	10,3	14,1	145,23	106,09	198,81	14,0
	12,1	14,4	174,24	146,41	207,36	14,7
Разом	85,2	133,8	1154,01	764,34	1795,60	133,8

Підставимо в систему нормальних рівнянь фактичні дані із таблиці:

Розв’язуємо систему рівнянь у такій послідовності:

помножимо кожний член першого рівняння на 25,4

віднімаємо із другого рівняння перше і одержуємо:

38,436b=14,034 звідси b=0,3651

підставляємо значення b у перше рівняння, одержимо:

а = 10,2694

Рівняння кореляційного зв’язку буде мати вигляд:

Ух = 10,2694+0,3651х

Після визначення параметрів рівняння регресії розрахуємо теоретичну лінію регресії шляхом підстановки у рівняння кореляційного зв’язку значень факторної ознаки (х):

Ух = 10,2694+0,3651х

Ух₁ = 10,2694+0,3651*5,5=12,3

Ух₂ = 10,2694+0,3651*6,0=12,5

Ух₃ = 10,2694+0,3651*7,0=12,8 і т.д.

Якщо параметри рівняння зв’язку визначені правильно, то

Коефіцієнт регресії b уточнює зв’язок між х і у. Він показує, на скільки одиниць збільшується (зменшується) результативна ознака при збільшенні (зменшенні) факторної ознаки на одиницю. В нашому прикладі при збільшенні вартості основних фондів на 1 млн.грн. випуск продукції збільшується на 0,3651 млн.грн.

Перевіримо тісноту зв’язку з використанням лінійного коефіцієнта кореляції:

Отже, лінійний коефіцієнт кореляції підтверджує досить тісний зв’язок між обсягом основних фондів та випуском продукції.

Дата добавления: 2014-11-29