Если же , то в силу (2.1) . 3 страница

Доказательство. Разложим определитель по первой строке, получим = + + = .

П р и м е р 26. Известно, что , и . Найти длину векторного произведения векторов и .

Решение. По определению векторного произведения , где - угол между векторами. По формуле (2.22) имеем: . Учитывая, что угол между векторами не превышает , из основного тригонометрического тождества получим: . Таким образом, .

П р и м е р 27. Даны точки , и . Вычислить площадь треугольника .

Решение. Площадь треугольника равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и , т. е. . Согласно (2.4) , , поэтому по формуле (2.29) имеем: . Тогда .

П р и м е р 28. Найти вектор , зная, что он перпендикулярен векторам и и удовлетворяет условию .

Решение. Пусть вектор имеет координаты . Тогда условие можно записать в виде . Вектор перпендикулярен векторам и , поэтому он коллинеарен вектору . По формуле (2.29) . Условие коллинеарности векторов и согласно (2.28) имеет вид . Поэтому для неизвестных получили систему уравнений , решив которую найдем, что .

2.8. Смешанное произведение трех векторов

Пусть даны три произвольных вектора , и .

Определение. Смешанным произведением трех векторов , , называется скалярное произведение вектора на векторное произведение векторов и , т. е.

. (2.30)

Геометрический смысл смешанного произведения раскрывает следующая теорема.

Теорема 13. Смешанное произведение равно объему параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах , и , взятому со знаком плюс, если тройка векторов правая, и со знаком минус, если тройка левая. Если же векторы , и компланарны, то .

Доказательство. Если векторы и коллинеарны, то векторы , и компланарны. Для компланарных векторов и по свойству векторного произведения , поэтому по свойству скалярного произведения , т. е. для компланарных векторов теорема доказана.

Пусть векторы , и не компланарны. Приведем эти векторы к общему началу . По формуле (2.23) , где - площадь параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах и , - орт векторного произведения . Тогда

. (2.31)

Проекция вектора на ось, определяемую вектором , с точностью до знака равна высоте параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах , и , при условии, что основанием служит параллелограмм, построенный на векторах и .

Таким образом, правая часть равенства (2.31) с точностью до знака равна объему параллелепипеда, построенного на векторах , и . Если векторы и лежат по одну сторону от плоскости, определяемой векторами и , то , если же векторы и лежат по разные стороны от этой плоскости, то . Векторы , и образуют правую тройку по определению векторного произведения , таким образом, , если векторы , и (соответственно векторы , и ) образуют правую тройку, и , если тройка векторов левая.

Если векторы , и компланарны, то вектор лежит в плоскости векторов и , следовательно, , и . Теорема доказана.

Из этой теоремы следует, что объем параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах , и , вычисляется по формуле

. (2.32)

Следствие 1. Для любых трех векторов , и справедливо равенство

. (2.33)

Доказательство. Из переместительного свойства скалярного произведения следует , поэтому достаточно доказать, что . Последнее равенство выполняется с точностью до знака, потому что обе его части с точностью до знака определяют объем параллелепипеда, построенного на векторах . Но тройки векторов и одновременно являются либо правыми, либо левыми, следовательно, знаки выражений и совпадают. Таким образом, . Следствие доказано.

Доказанное равенство (2.33) позволяет записывать смешанное произведение трех векторов , и просто в виде , без указания при этом, какие два вектора (первые два или последние два) перемножаются векторно.

Следствие 2. Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.

Доказательство. Если векторы компланарны, то, согласно доказанной теореме, их смешанное произведение равно нулю. Если смешанное произведение векторов равно нулю, то по этой же теореме проекция одного из векторов на ось, определяемую векторным произведением двух других векторов, равна нулю, т. е. он параллелен плоскости, в которой лежат два другие вектора. Это означает, что векторы компланарны. Следствие доказано.

Следствие 3. Смешанное произведение трех векторов, два из которых совпадают, равно нулю.

Доказательство. Если два вектора из трех совпадают, то такие три вектора компланарны и их смешанное произведение равно нулю. Следствие доказано.

Теорема 14. Если векторы , и заданы своими координатами, т. е. , , , то смешанное произведение векторов , и вычисляется по формуле

. (2.34)

Доказательство. Разложим определитель, стоящий в правой части выражения (2.34), по первой строке. Получим: . Теорема доказана.

Теорема 15.Пусть даны точки , , , . Тогда объем параллелепипеда, построенного на векторах , и как на сторонах, вычисляется по формуле

. (2.35)

Доказательство. Преобразуем правую часть (2.35), используя свойства определителей:

. Теорема доказана.

Следствие. Объем треугольной пирамиды с вершинами в точках , , , вычисляется по формуле

. (2.36)

Доказательство. Если четыре вершины параллелепипеда, не лежащие в одной плоскости, являются вершинами треугольной пирамиды, то объем пирамиды составляет объема параллелепипеда. Учитывая, что объем параллелепипеда вычисляется по формуле (2.35), получаем доказываемое тождество. Следствие доказано.

П р и м е р 29. Вершины тетраэдра находятся в точках , , и . Найти длину высоты тетраэдра, опущенной из вершины .

Решение. Так как объем тетраэдра и его высота связаны соотношением , где - площадь грани , то . Объем тетраэдра и площадь грани найдем, используя векторное и смешанное произведения векторов. По формуле (2.36) имеем: . Из определения векторного произведения следует, что . Так как , , то и . Таким образом, .

Дата добавления: 2014-11-29