Доповнення множини

Звичайно, вже в означенні конкретної множини явно або неявно обмежується сукупність об’єктів, що є допустимими. (Слони – серед тварин, натуральні числа – серед цілих або дійсних залежно від контексту). Зручно сукупність допустимих об’єктів зафіксувати явно та вважати, що множини, які розглядаються, складаються з елементів цієї сукупності. Її називають основною множиною (універсумом) і позначають U. Універсум U арифметики – числа, універсум U зоології – тварини і т.д. Будь-яку множину розглядатимемо у зв’язку з універсумом, який на діаграмах Ейлера асоціюватимемо з прямокутником на площині, всередині якого зображатимемо множини (рис. 5).

Рис. 5

Доповнення множини А – це множина, що містить усі елементи універсуму, за винятком елементів А (рис. 6), тобто .

Рис.6

Множина А називається підмножиною множини В, якщо кожен елемент А є елементом В. Для позначення цього факту вводиться знак Ì - символ строгого включення (або Í - символ нестрогого включення) (рис. 7). Якщо необхідно підкреслити, що множина В містить також інші елементи, крім елементів множини А, то використовують символ строгого включення А Ì В.

Дві множини рівні, якщо вони складаються з одних і тих самих елементів. Справджується таке: А = В тоді і тільки тоді, коли А Í В і В Í А.

Рис. 7

Окремо розглянемо ще одну дуже важливу операцію над множинами.

Декартовим (прямим) добутком множин A і B (записується A ´ B) називається множина всіх пар (a, b), в яких перша компонента належить множині A (a Î A), а друга - множині B (b Î B).

Тобто

A ´ B = {(a, b) | a Î A і b Î B }

Декартовий добуток природно узагальнюється на випадок довільної скінченної сукупності множин. Якщо A ₁, A ₂,..., A_n - множини, то їхнім декартовим добутком називається множина

D = { (a ₁, a ₂,..., a_n) | a ₁Î A ₁, a ₂Î A ₂,..., a_n Î A_n },

яка складається з усіх наборів (a ₁, a ₂,..., a_n), в кожному з яких i -й член, що називається i -ю координатою або i -ю компонентою набору, належить множині A_i, i =1,2,..., n. Декартовий добуток позначається через A ₁´ A ₂´...´ A_n.

Набір (a ₁, a ₂,..., a_n), щоб відрізнити його від множини, яка складається з елементів a ₁, a ₂,..., a_n, записують не у фігурних, а в круглих дужках і називають кортежем, вектором або впорядкованим набором. Довжиною кортежу називають кількість його координат. Два кортежі (a ₁, a ₂,..., a_n) і (b ₁, b ₂,..., b_n) однакової довжини вважаються рівнимитоді і тільки тоді, коли рівні їхні відповідні координати, тобто a_i = b_i, i =1,2,..., n. Отже, набори (a, b, c) і (a, c, b) вважаються різними, в той час як множини { a, b, c } і { a, c, b } - рівні між собою.

Декартовий добуток множини A на себе n разів, тобто множину A ´ A ´...´ A називають n -м декартовим (або прямим) степенем множини A і позначають Aⁿ.

Прийнято вважати, що A ⁰ = Æ (n =0) і A ¹ = A (n =1).

Наприклад, якщо A = { a, b } і B = { b, c, d }, то

A ´ B = {(a, b),(a, c),(a, d),(b, b),(b, c),(b, d)},

A ² = {(a, a),(a, b),(b, a),(b, b)}.

Якщо R - множина дійсних чисел або множина точок координатної прямої, то R ² - це множина пар (a, b), де a, b Î R, або множина точок координатної площини.

Координатне зображення точок площини вперше було запропоновано французьким математиком і філософом Рене Декартом, тому введена теоретико-множинна операція і називається декартовим добутком.

Множину, елементами якої є всі підмножини множини А, називають множиною підмножин множини А і позначають Р (А). Так, для триелементної множини А = { a, b, c } маємо P (A)={Æ, { a }, { b }, { c }, { a, b },{ b, c }, { a, c }, { a, b, c }}. У разі скінченної множини А з n елементів, множина підмножин Р (А) містить 2 ⁿ елементів.

Дата добавления: 2014-11-29