Відношення порядку

Фактор-множина

Виходячи із сказаного кожен блок розбиття X_j є підмножиною множини X, що складається з елементів, еквівалентних деякому фіксованому елементу цієї підмножини. Тому можна розглянути і множину всіх класів еквівалентності, яку звичайно називають фактор-множиною за даним відношенням еквівалентності R і позначають наступним чином Х / R. Якщо через K (x) позначити клас еквівалентності елемента x, то K (x) є елементом фактор-множини та x Î K (x).

Відображення, що кожному елементу x Î X ставить у відповідність клас еквівалентності K (x), називається канонічною сюр’єкцією з X на X / R. Дійсно, вказане відображення є сюр’єктивним.

Навпаки, ми бачили раніше, що будь-яка сюр’єкція ¦: X ® Y визначає деяке відношення еквівалентності R. Відображення, яке кожному z Î Y ставить у відповідність клас еквівалентності ¦ ^-1({ z })є бієкцією Y на X / R, що дозволяє розглядати Y як деяку "модель" фактор-множини X / R.

Можна дати просту інтерпретацію фактор-множини на прикладах відношень еквівалентності, наведених раніше (1, 2, 3, 4, 5):

1)°фактор-множина - це Q (раціональні числа), оскільки раціональне число звичайно визначаєтьсяяк сім’я пар (p,q),q¹0, де при рq'-р'q = 0 дві пари (p,q) і (р',q') визначають те саме раціональне число;

2)°фактор- множина - це множина Z_m цілих чисел, порівняних за модулем m;

3)°фактор- множина - це множина напрямлених прямих на площині;

4)°фактор- множина - це множина вільних векторів на площині. При цьому вільним вектором називається саме клас всіх еквівалентних векторів;

5)°фактор- множина - це множина “ковзних векторів” площини, які застосовуються в теоретичній механіці;

6)°фактор- множина - це множина місяців року. Вона може мати менше 12 місяців, бо в аудиторії може не виявитися студентів, які народилися в одному з місяців, скажімо в лютому.

(Бінарне) відношення R на множині Х називається відношенням порядку, якщо воно має властивості рефлективності, антисиметричності й транзитивності. Замість того, щоб писати (x, х') Î R, часто записують також х £ R х' чи х £ х', якщо відношення порядку було зазначено заздалегідь і немає необхідності його повторювати. У цьому випадку х' ³ x означає х £ х' і властивості рефлективності, транзитивності й антисиметричності запишуться відповідно у вигляді:

х £ х;

якщо х £ х' і х' £ х", то х £ х";

якщо х £ х' і х' £ х,то x = х'.

Розглянемо приклади відношень порядку:

1)°у множинах N натуральних чисел, Z цілих чисел, Q раціональних чисел відношення(x, х') Î R тоді і тільки тоді, коли х £ х', є відношенням порядку. Відношення (x, х') Î R тоді і тільки тоді, коли x ³ х',також є відношенням порядку, яке протилежне до попереднього. Аналогічно можна розглядати відношення: х £ х', х < х', х' ³ x, х' > x;

2)°у множині слів української мови існує відношення порядку, яке називається алфавітним, якщо домовитися ототожнювати омоніми;

3)°у множині Х = Р (Y) підмножин множини Y існує природне відношення порядку: А £ В, якщо А Í B;

4)°у множині Х = R^Y функцій, визначених на множині Y, з дійсними значеннями також існує природне відношення порядку: f £ g, якщо для кожного у Î Y виконується нерівність ¦ (y) £ g (y). Зауважимо, що тут відношення f £ g означає, що яке б не було y, ¦ (y) £ g (y) і хоча б для одного y, ¦ (y) £ g (y). Вказане відношення зовсімнеозначає, що для кожного у виконується нерівність ¦ (x) £ g (y);

5)°у множині N натуральних чисел існує наступне відношення порядку: a £ b, якщо a є дільником b;

6)°у довільній множині X відношення x £ х', якщо x = х', є відношенням порядку. Кажуть, що це - хаотичний порядок на X.

Множина Х з відношенням порядку £ називається повністю впорядкованою, якщо для будь-яких двох різних елементів x, х' з Х: або x £ х' або х' £ x. Інакше множина Х називається частково впорядкованою.

У розглянутих прикладах 1), 2) множина є повністю впорядкованою, а у прикладах 3) ‑ 6) – частково впорядкованою. У випадку, коли x і х' не задовольняють ніякому з двох зазначених співвідношень, кажуть, що вони не порівнянні. Так, у прикладі 3) - дві непорожні підмножини, що не перетинаються, не порівнянні; у прикладі 4) - не порівнянні постійні функції 0 і 10; у прикладі 5) - не порівнянні цілі числа 2 і 3; у прикладі 6) - два довільних різних елементи не порівнянні.

Нехай Х і Y - дві впорядкованих множини. Відображення ¦: Х ® Y називається зростаючим, якщо з x £ x' випливає f (x) £ f (x'). Відображення ¦: Х ® Y називається спадним, якщо з умови x £ x' випливає f (x') £ f (x).

Дата добавления: 2014-11-29