Потужності. Кардинальні числа

Розглянемо відображення з N в N, яке кожному натуральному числу ставить у відповідність подвоєне число, тобто ізоморфізм γ (п) = 2 п. Тоді можна сказати, що існує стільки парних натуральних чисел, скільки й натуральних, а також, що y випадку нескінченних множин може існувати бієктивне відображення деякої множини на її підмножину, яка відмінна від самої множини. Завдяки поняттю бієктивного відображення можна порівнювати між собою нескінченні множини.

Наведемо без доведення теорему.

Теорема 2 (Бернштейна). Нехай X та Y – дві довільні множини. Тоді 1) або існує ін’єкція X в Y, або існує ін’єкція Y в X (обидві обставини не виключають одна одну); 2) якщо існує одночасно ін’єкція X в Y та ін’єкція Y в X, то існує також бієкція X на Y.

Наслідок. Для заданих множин X та Y є тільки три можливості:

а) існує ін’єкція X в Y і не існує ін’єкція Y в X. В цьому випадку говорять, що Y має потужність строго більшу потужності X, або що X має потужність, строго меншу потужності Y;

б) існує ін’єкція Y в X і не існує ін’єкція X в Y. Тоді X має потужність строго більшу потужності Y або Y має потужність, строго меншу потужності X;

в) існує бієкція X в Y. У цьому випадку кажуть, що X і Y мають однакову потужність або рівнопотужні.

Якщо X рівнопотужна з Y, або її потужність строго менша, ніж Y, то кажуть, що X має потужність, меншу потужності Y.

Відношення ” X рівнопотужна Y “ є відношенням еквівалентності між множинами. Клас еквівалентності, тобто клас всіх множин рівнопотужних даній множині, називається потужністю або кардинальним числом. Скінченні кардинальні числа – це класи еквівалентності скінченних множин. Ці числа за визначенням є натуральними числами 0, 1, 2,.... Слід відзначити, що ми приймаємо як первинне поняття натуральні числа, але їх строге математичне визначення досить складне. Як наслідок не легко apriori означити скінченні множини. Часто за визначенням вважають множину скінченною, якщо вона не рівнопотужна ніякій зі своїх підмножин, відмінних від самої множини, а потім доводять, що кардинальне число має властивості натуральних чисел. Нескінченне кардинальне число, тобто потужність нескінченної множини, називається трансфінітним кардинальним числом або трансфінітним числом.

У класі кардинальних чисел існує відношення такого порядку: якщо α є кардинальним числом якоїсь підмножини множини потужності β, то α ≤ β. Згідно з теоремою Бернштейна це відношення має властивість антисиметрії, а, значить, дійсно є деяким відношенням порядку. З цієї теореми випливає, що таке відношення порядку повне, тобто довільні два кардинальні числа можна порівняти. Якщо існує сюр’єкція ƒ: X → Y, то потужність Y менша потужності X. Дійсно, прообраз кожного елемента з Y не порожній, і якщо в кожному з цих прообразів ми виберемо по одному елементу, то отримаємо деяку підмножину множини X рівнопотужну Y. Наприклад, фактор-множина множини X за деяким відношенням еквівалентності має меншу потужність, ніж множина X. Не важко вибрати по одному елементу в кожній зі скінченого числа множин. Можливість такого вибору може бути введена як аксіома теорії множин – аксіома вибору або аксіома Цермело.

На множині кардинальних чисел можна визначити операції додавання, множення, піднесення до степеня так само, як і в множині натуральних чисел:

1) нехай α і β - два кардинальних числа, а X і Y - множини потужності відповідно α і β. Через α + β позначаємо потужність “суми” X і Y, тобто довільної множини, яка може бути утворена об’єднанням двох множин, рівнопотужних X і Y відповідно;

2) через α· β позначаємо потужність добутку X × Y. Це кардинальне число α об’єднань підмножин, що не перетинаються, і кожна з яких має потужність β;

3) через α ^β позначаємо потужність множини X ^Y всіх відображень з Y в X.

Теорема 3. Операції, визначені на множині кардинальних чисел, мають такі властивості:

1) асоціативність і комутативність додавання;

2) асоціативність і комутативність множення;

3) дистрибутивність множення відносно додавання;

4) (α ^β)∙(α ^γ) = α ^{β + γ} ;

5) α ^γ ∙ β ^γ = (α ∙ β) ^γ ;

6) (α ^β) ^γ = α ^{β γ}.

Властивості з теореми 3 створюють враження, що кардинальні числа (навіть транс-фінітні), мають усі властивості звичайних натуральних чисел. Проте теорема 4 показує, що це не так.

Теорема 4. Якщо α і β два кардинальних числа не дорівнюють 0 і якщо хоча б одне з них трансфінітне, то сума α + β і добуток α ∙ β дорівнюють більшому з них. Таким чином, можна зробити висновок, що для кардинальних нескінченних чисел визначити віднімання неможливо бо серед чисел, додавання яких до α дає α, фігурує не тільки 0, а й довільне скінчене число, і навіть α.

Теорема 5. Якою б не була множина X, множина її підмножин має потужність, строго більшу потужності X.

Неважко довести, що коли card X = α, то card P (X) = 2 ^α і для довільних α завжди 2 ^α > α. (наприклад, n ≥ 0, 2 ⁿ > n).

Перейдемо до двох найбільш важливих трансфінітних потужностей: потужності зчислених множини ν і потужності континууму γ.

Дата добавления: 2014-11-29