Двочасткові графи

Дерева

Деякі класи графів

Дерева - це особливий і дуже важливий клас графів. Особлива роль дерев визначається як широким їхнім застосуванням у різних галузях науки і практики, так і тим особливим положенням, яке дерева займають у самій теорії графів. Останнє випливає з граничної простоти будови дерев. Часто при розв’язуванні різних задач теорії графів їхнє дослідження починають з дерев. Зокрема, порівняно нескладною є проблема перевірки ізоморфності дерев.

Твердження 1. В дереві дві довільні вершини зв’язані єдиним ланцюгом (інакше був би цикл).

Твердження 2. Довільний ланцюг у дереві є простим.

Визначення. У довільному графі G вершина v називається кінцевою, якщо r (v) = 1, тобто існує одне ребро, інцидентне вершині v, і це ребро називається кінцевим.

Твердження 3. У дереві є хоча б дві кінцеві вершини.

Розглянемо дерево G і виберемо довільну вершину v ₀. Кожному ребру e = (a, b) зіставимо той кінець, який більш віддалений від v ₀ (оскільки в дереві всі ланцюги є простими, то від довільної вершини до v ₀ веде лише один ланцюг).

Твердження 4. Для дерева виконується рівність v_V – v_E = 1 (v_V - кількість вершин, v_E - кількість ребер).

Твердження 5. У дереві кожне ребро суттєве (його вилучення веде до порушення зв’язаності графа).

Визначення. В довільному скінченному зв’язаному графі G циклічний ранг:

g(G) = v_E ‑ v_V + 1.

Твердження. Для довільного скінченного зв’язаного графа G циклічний ранг

g(G) ³ 0

і дорівнює кількості ребер, які необхідно вилучити з G для того, щоб отримати дерево (скелет графа).

Для дерев g(G) = 0.

Дерева використовують для розв’язання такої задачі: необхідно з’єднати „ n ” міст залізничною колією таким чином, щоб не будувати зайвих ліній. При цьому вважається відомим вартість будівництва колії між двома довільними містами. Таким чином, необхідно побудувати зв’язний граф G, який містить всі задані вершини і для якого повна вартість була б найменшою. Очевидно, що граф G - дерево.

Алгоритм розв’язання.

Вибираємо ребро e_i з найменшою вартістю. Отримаємо граф A ₁ = { e ₁}. На кожному наступному кроці до A_{i ‑ 1} додаємо ребро, яке має найменшу вартість серед тих, що залишились, і таке, що граф A_i = A_{i ‑ 1} È { e_i } не має циклів. Останній граф A_{n ‑ 1} = G і є шуканим.

Граф G =(V, E) називається двочастковим, якщо існує розбиття { V ₁, V ₂} множини вершин V на дві підмножини (частки) таке, що для довільного ребра (v, w)Î E виконується або v Î V ₁ i w Î V ₂, або v Î V ₂ i w Î V ₁.

Двочастковий граф G =(V, E) називається повним двочастковим графом, якщо для будь-якої пари вершин його часток v Î V ₁ i w Î V ₂ маємо (v, w)Î E. Якщо | V ₁|= m i | V ₂|= n, то повний двочастковий граф G позначається K_{m , n}.

Теорема (теорема Кеніга). Граф є двочастковим тоді і тільки тоді, коли всі його цикли мають парну довжину.

Визначення. Нехай G (V ₁, V ₂) - дводольний граф. Пароз’єднання – це підмножина ребер графу G:{(x_i, y_j), …}, де x_i Î V ₁ а y_j Î V ₂, причому жодні два ребра не мають спільних вершин.

Визначення. Максимальне пароз’єднання (П) – це пароз’єднання дводольного графу G, яке має найбільшу кількість ребер.

Розглянемо таку задачу: знайти максимальне пароз’єднання, яке містить всі вершини множини V ₁.

Твердження (теорема Холла). Максимальне пароз’єднання П дводольного графу покриває всі вершини множин V ₁ тоді і тільки тоді, якщо для довільної множини U ₁ Í V ₁ кількість елементів у множині U ₂ Í V ₂, яка містить всі вершини, з’єднані ребром хоча б однією вершиною з U ₁, не менша від кількості вершин множини U ₁.

Алгоритм побудови максимального пароз’єднання П.

Будемо вважати, що умови теореми Холла виконані. Задамося довільним пароз’єднанням П ₀. Якщо воно не охоплює всіх вершин множини V ₁, то існує x ₀: x ₀Î V ₁ і x ₀Ï П ₀.

Побудуємо

W ₀ = { x ₀};

W ₁ = { y | (x ₀, y) Î G };

W ₂ = { x | (x, y) Î П ₀, y Î W ₁, x Ï W ₀};

W ₃ = { y | (x, y) Î G, x Î W ₂, y Ï W ₁};

W ₄ = { x | (x, y) Î П ₀, y Î W ₃, x Ï W ₀ È W ₂};

W ₅ = { y | (x, y) Î G, x Î W ₄, y Ï W ₁ È W ₃};

...

Зауважимо, що, згідно з побудовою, в множинах W ₁ і W ₂, W ₃ і W ₄, W ₅ і W ₆ і т.д. попарно однакова кількість елементів. Крім того, послідовність вершин W_i не може закінчитись на множині з парним індексом W _{2 k}, оскільки для множини

U ₁ = W ₀ È W ₂È … È W _{2 k} Í V ₁

кількість вершин у відповідній множині

U ₂ = W ₁ È W ₃È … È W _{2 k - 1} Í V ₂

(U ₂ містить всі вершини графу, які з’єднані ребром хоча б з однією з вершин множини U ₁) на одиницю більше, що суперечить умові теореми Холла. Тому існує вершина y *:

y * Î W _{2 k - 1} і y * Ï П ₀.

Тоді існує шлях S, який починається з x ₀, проходить через вершини множин W ₁ і закінчується в y * і містить непарну (2 k ‑ 1) кількість ребер:

S = { e ₁, e ₂, …, e _{2 k - 1}},

причому всі парні ребра e_{2 k} Î П ₀.

Нове пароз’єднання П ₁ будуємо наступним чином:

П ₁ = П ₀ \ { e ₂ È e ₄ È…È e _{2 k - 2}} È { e ₁ È e ₂ È…È e _{2 k - 1}}.

Пароз’єднання П ₁ містить на одне ребро і на одну вершину з множини V ₁ більше ніж П ₀. Якщо П ₁ охоплює всі вершини множини V ₁, то беремо деяку вершину x ₀: x ₀Î V ₁ і x ₀Î П ₁ і т.д.

Приклад

П ₀ = {(x ₁, y ₁), (x ₃, y ₂)}.

1) W ₀ = (x ₂); W ₁ = (y ₂); W ₂ = (x ₃); W ₃ = (y ₁); W ₄ = (x ₁); W ₅ = (y ₄).

e ₁ = (x ₂, y ₂); e ₂ = (x ₃, y ₂); e ₃ = (x ₃, y ₁); e ₄ = (x ₁, y ₁); e ₅ = (x ₁, y ₄).

П ₁ = {(x ₂, y ₂), (x ₃, y ₁), (x ₁, y ₄)}.

2) W ₀ = (x ₄); W ₁ = (y ₃, y ₄).

e ₁ = (x ₄, y ₃).

П = П ₂ = {(x ₁, y ₄), (x ₂, y ₂), (x ₃, y ₁), (x ₄, y ₃)}.

Дата добавления: 2014-11-29