Лекція № 11. Взаємний перетин геометричних поверхонь

План лекції

1. Перетин граних поверхонь.

2. Перетин поверхонь обертання.

а) метод допоміжних січних площин рівня;

б) метод допоміжних січних концентричних сфер.

3. перетин граних поверхонь з поверхнями обертання.

1. Перетин граних поверхонь. Результатом перетину граних поверхонь є замкнута ламана лінія. Для побудування проекцій точок цієї лінії використовують 2 методи:

1) будують точки перетину ребер однієї поверхні з гранями іншої (рішення задачі на перетин прямої та площини);

2) визначають лінії перетину граней першої поверхні з гранями іншої (рішення задачі на визначення ліній перетину двох площин).

Приклад. Побудувати лінію перетину трьохграної призми АВС з нахиленої пірамідою SEBDF (рис. 11.1).

Аналіз графічних умов.

Призма АВС перпендикулярна П1, тому її бокові грані горизонтально-проектуючі площини. На цій підставі горизонтальні проекції граней мають збиральні властивості. Тому:

1) позначаємо точки перетину ребер піраміди з гранями призми

1. S₁E₁×A₁B₁=1₁

S₁E₁×B₁C₁=2₁

S₁F₁×A₁B₁=3₁

S₁F₁×B₁C₁=4₁

2. 1₂; 2₂ є S₂E₂

3₂;4₂ є S₂F₂

Рис. 11.1

Ребро призми В перетинає дві грані піраміди CDE та CDF. Для визначення точок перетину використовуємо пряму лінію і з’єднуємо S₁B₁.

3. S₁B₁×E₁D₁=5₁

S₁B₁×F₁D₁=6₁

S₂ є E₂D₂

S₂5₂×B₂=7₂

7₁≡B₁

4. 6₂ є F₂D₂

S₂6₂×B₂=8₂

8₁≡B₁≡7₁

На П2 з’єднуємо точки перетину з урахуванням їх видимості.

1₂7₂;2₂7₂;3₂8₂;4₂8₂ – видимі

1₂3₂;2₂4₂;3₂4₂;8₂7₂ – невидимі

2. Перетин поверхонь обертання. В результаті взаємного перетину поверхонь обертання утворюється замкнута крива лінія. Для побудування її проекцій використовують два методи:

1) метод допоміжних січних площин рівня;

2) метод допоміжних січних концентричних сфер.

Метод допоміжних січних площин рівня використовується, якщо:

1) обидві поверхні є поверхнями обертання;

2) вісі обертання обох поверхонь не перетинаються.

Суть методу полягає в тому, що в результаті перетину січних площин і кожної поверхні утворюються прості лінії – твірні або кола, які в свою чергу також перетинаються і дають положення проекцій точок, які належать до лінії перетину поверхонь.

Приклад: побудувати лінію перетину конусу і сфери (рис. 11.2).

План рішення. Рис. 11.2

Будуємо проекції точок перетину крайньої правої твірної конусу і сфери та їх горизонтальні проекції.

1.1₂2₂

1₁2₁

2. На П2 будуємо фронтальний слід допоміжної січної площини ∑.

2. ∑₂║х

∑₂×К₂=R₂

∑₂×Сф₂=r₂

R₁×r₁=3₁;3₁^/

3₂;3₂^/ є O₂

3.∑₂^/║х

∑₂^/× К₂=R₂^/

∑₂^/×Сф₂=r₂^/

R₁^/×r₁^/=4₁^/;4₁

4₂;4₂^/ є ∑₂^/

На П2 лінія перетину – видима крива. На П1 – лінія перетину складається з двох частин: видимої та невидимої.

Видимі точки: 1₁, 3₁, 3₁^/, 4₁, 4₁^/ на П2 розташовані над екватором сфери. 4₂, 4₂^/ - на екваторі, тому є межовими точками видимості. Невидимі на П1: 4₁, 4₁^/, 2₁, 5₁, 5₁^/ – на П2 розташовані під екватором сфери.

Метод допоміжних січних концентричних сфер

використовується, якщо: Рис. 11.3

1) обидві поверхні є поверхнями обертання;

2) вісі симетрії (обертання) обох поверхонь перетинаються;

3) обидві поверхні мають загальну площину симетрії.

Приклад. Побудувати лінію перетину прямого конусу та нахиленого циліндру (рис. 11.3).

План рішення:

1) рішення задачі виконують на П1. Горизонтальні проекції точок лінії перетину визначають як недостатні проекції точок, які належать до поверхні конусу (методом твірної або допоміжної січної площини рівня). Тому, по-перше. Визначають положення точок перетину крайньої правої твірної конусу і твірної циліндра.

1. 1₂2₂

2) з центру О2 будують сферу 1. дотичну до правої твірної конусу. З точки дотику проводимо допоміжну пряму, паралельно до основи конусу.

3) з’єднують прямою точки перетину сфери 1 з твірними циліндру. Ця лінія перетинає попередню і отримуємо проекції точок лінії перетину поверхонь.

2. Сф₁; 3₂3₂^/

4) збільшуємо радіус сфери 1 на 2-3 мм і з центру О₂ будуємо сферу 2, концентричну до сфери 1.

3. Сф₂.

5) з точок перетину сфери 2 та твірної конусу будують допоміжні горизонтальні прямі. З’єднують точки перетину сфери 2 з твірними циліндру. Остання пряма перетинає дві попередні і отримуємо положення проекцій точок лінії перетину поверхонь.

4. 4₂, 4₂^/

5₂, 5₂^/

6) з’єднують плавною лінією 1₂4₂4₂^/3₂3₂^/5₂5₂^/2₂. Лінія перетину на П2 – видима.

3. Перетин граних поверхонь з поверхнями обертання. В результаті перетину утворюється замкнута крива лінія. Для визначення проекцій точок цієї лінії використовують метод допоміжних січних площин рівня, які перетинають обидві поверхні.

Результатом перетину граної поверхні з січною площиною будуть прямі лінії, а результатом перетину з поверхнею обертання – коло. Прямі лінії перетинаються з відповідними колами і утворюються проекції точок, які належать до лінії перетину поверхонь.

Приклад. Побудувати лінію перетину конусу і призми (рис. 11.4).

Аналіз графічних умов:

Призма АВС перпендикулярна П2, а тому фронтальна проекція лінії перетину поверхонь буде розташована на фронтальній проекції призми і подальше рішення задачі зводиться до побудування точок лінії перетину поверхонь. Для цього використовують допоміжні горизонтальні січні площини рівня Г║П1.

1.Г║П1

2.Г₂║х

Г₂ є В₂

Г₂×К₂=R₂

R₁×B₁=1₁, 1₁^/

1₂, 1₂^/≡B₂

2.Г₂^/║х

Г₂^/×А₂В₂=2₂, 2₂^/

Г₂^/×В₂С₂=3₂, 3₂^/

2₁, 2₁^/, 3₁, 3₁^/

3.Г₂^// є А₂С₂

4.А₂≡4₂≡4₂^/; В₂≡5₂≡5₂^/

4₁, 4₁^/, 5₁, 5₁^/.

Рис. 11.4

Контрольні питання.

1. Наведіть послідовність рішення задачі по визначенню лінії перетину граних поверхонь.

2. Якими методами будують лінію перетину поверхонь обертання?

3. Наведіть приклад побудови лінії перетину граної поверхні та поверхні обертання.

Дата добавления: 2014-12-07