Центр паралельних сил

Розглянемо паралельні нерівні між собою сили і в системі координат Oxyz, де точки прикладання цих сил А і В визначаються радіусами-векторами і відповідно. Радіус-вектор визначає точку С прикладання рівнодіючої даних сил (рис.1.8).

Можна записати, що .

Але і .

Отже:

, звідки: .

Якщо узагальнити отриманий результат на систему паралельних сил , то отримаємо, що:

.

Рівняння визначає положення центра паралельних сил у векторній формі.

Координати центра паралельних сил обчислюють через проекції радіуса-вектора на осі координат:

; ; .

Рисунок1.8 – Паралельні нерівні між собою сили

4.3 Центр ваги твердого тіла

Центром ваги тіла називають центр системи паралельних сил, яку наближено утворюють сили ваги його елементарних частинок.

Радіус-вектор центра ваги підраховують як радіус-вектор центра паралельних сил (рис.1.9) за формулою:

,

де: - радіус-вектор точки прикладання сили ваги елементарної частинки ;

- вага елементарної частинки;

- вага всього тіла.

В граничному випадку, коли число елементарних частинок n прямує до нескінченості, формула (1.35) набуває вигляду:

.

У свою чергу і тому:

,

де: - густина речовини тіла; - елементарний об’єм частинки тіла; - радіус-векор елементарної частинки.

Рисунок 1.9 – Радіус-вектор центра паралельних сил

Координати центра ваги тіла визначаються рівняннями:

, , .

Якщо тіло є однорідним, то і . В такому випадку

, , ,

де, - об’єм тіла.

Узагальнення результатів визначення центрів ваги однорідних тіл приводить до висновку: якщо однорідне тіло має площину, вісь або центр симетрії, то центр його ваги розташований відповідно або в площині симетрії, або на осі симетрії, або в центрі симетрії.

Методика визначення центра ваги тіл полягає в наступному. Тіло розбивають на скінчену кількість таких частин, для кожної з котрих положення центра ваги відоме, або може бути попередньо визначено. Далі центр ваги підраховують за загальними формулами. Так, наприклад, координати центра ваги плоскої однорідної фігури визначаються з рівнянь:

; ,

у котрих - кількість простих фігур (коло, прямокутник, трикутник), на які розбита задана фігура;

- площа всієї фігури;

- координати центра ваги -ї простої фігури площею .

Питання для самоконтролю

1. Якими параметрами визначається сила, що діє на тверде тіло?

2. Що таке лінія дії сили?

3. Що називають проекцією сили на координатну вісь?

4. Які системи сил називають еквівалентними?

5. Яку силу називають рівнодіючою системи сил?

6. Чи може рівнодіюча двох сил бути за модулем менше, ніж модуль складових її сил?

7. Дайте визначення векторного моменту сили відносно довільного просторового центра і наведіть відповідну формулу.

8. Що таке центр ваги тіла? Чи змінюється положення центра ваги відносно точок тіла при переміщенні тіла в просторі?

ТЕМА № 2: ЗАКОН ГУКА. ВИПРОБУВАННЯ МАТЕРІАЛІВ.

Лекція 2.Опір матеріалів.

План:

1. Основні задачі опору матеріалів.

2. Поняття про деформацію. Основні допущення та гіпотези.

3. Види деформації.

1. Основні задачі опору матеріалів.

Опір матеріалів – це наука про інженерні методи розрахунку на міцність, жорсткість і стійкість елементів конструкцій, деталей машин і приладів.

Міцність – це здатність тіл протидіяти зовнішнім силам, не руйнуючись.

Жорсткість – це здатність тіл протидіяти зовнішнім силам, якомога менше деформуючись.

Стійкість – це здатність тіл протидіяти зовнішнім силам, зберігаючи первісну форму пружної рівноваги.

Опір матеріалів вивчає поведінку тіл у полі зовнішніх сил. Але ж цим займається і теоретична механіка. Але в теоретичній механіці всі тіла вважають абсолютно твердими і розглядають закономірності руху цих тіл, то в задачах опору матеріалів усі тіла вважають твердими, але здатними до деформацій, і розглядають процеси, пов’язані з цими деформаціями, а рух цих тіл цікавить тільки з точки зору утворення додаткових сил (наприклад, сил інерції).

Конструкція – це сукупність елементів (тіл), які функціонально пов’язані між собою та виконують певне технічне завдання. Тіло, в свою чергу, теж може виступати в ролі конструкції, якщо, наприклад, у постановці задачі потрібно враховувати неоднорідну побудову (композитні матеріали).

Опір матеріалів є наукою інженерних методів розрахунку саме тому, що постановка задач передбачає рівень абстрагування та спрощення таким, щоб інженер-практик міг розв’язати ці задачі, використовуючи доступний для нього математичний апарат. Таким чином, опір матеріалів – це загальна наука про міцність і надійність конструкцій та їх елементів.

При вирішенні основної задачі опору матеріалів − вибору матеріалу й поперечних розмірів для елементів споруд і машин, крім уміння обчислювати напруження, необхідне знання механічних властивостей реальних матеріалів. Це зумовлює необхідність лабораторних експериментальних досліджень. Глибокі знання про міцність матеріалів, що використовуються, і не менш глибоке і чітке уявлення про розподіл напружень в елементах конструкцій − ось що повинен дати курс опору матеріалів, аби достатньо озброїти спеціаліста для вирішення практичних задач.

Для побудови теорії опору матеріалів вводять деякі гіпотези щодо структури і властивостей матеріалів, а також про характер деформацій.

1. Гіпотеза про однорідність та ізотропність. Матеріал вважається однорідним та ізотропним, тобто в будь-якому об'ємі та в будь-якому напрямі властивості матеріалу вважаються однаковими.

2. Гіпотеза про суцільність матеріалу. Припускається, що матеріал суцільно заповнює форму тіла.

3. Гіпотеза про малість деформацій. Припускається, що деформації малі, порівняно з розмірами тіла. Це дає змогу здебільшого нехтувати змінами в розташуванні зовнішніх сил відносно окремих частин тіла й складати рівняння статики для недеформованого стану тіла. Малі відносні деформації розглядаються як нескінченно малі величини.

4. Гіпотеза про ідеальну пружність матеріалу. Припускається, що всі тіла абсолютно пружні. Відхилення від ідеальної пружності, які завжди спостерігаються для реальних тіл, неістотні і ними нехтують до певних меж деформування. Більшість задач опору матеріалів вирішують у припущенні лінійно деформованого тіла, при якому справедливий закон Гука, що відображає пряму пропорційність між деформаціями та навантаженням.

5. Гіпотеза Бернуллі про плоскі перерізи. Поперечні перерізи, що були плоскими і нормальними до осі стержня до прикладання навантаження, залишаються плоскими і нормальними до його осі після деформації.

Принципи:

1. Принцип незалежності й додавання дії сил (принцип суперпозиції). Зусилля в будь-якому елементі конструкції, спричинені різними факторами, дорівнюють сумі зусиль, спричинені кожним із цих факторів, і не залежать від порядку їхнього прикладання. Це справедливо і стосовно деформацій.

2. Принцип Сен-Венана. В перерізах, достатньо віддалених від місць прикладання навантаження, деформація тіла не залежить від конкретного способу навантаження і визначається лише статичним еквівалентом навантаження.

2. Поняття про деформацію. Основні допущення та гіпотези.

Деформація (від лат. Deformatio — «спотворення»)– зміна розмірів і форми твердого тіла під дією зовнішніх сил (навантажень) або якихось інших впливів (наприклад, температури, електричних чи магнітних полів).

Деформації можуть бути абсолютні та відносні (коли їх вимірюють відношенням зміни величини до її початкового значення).

У більшості випадків деформація тіла складається з двох частин: пружної та пластичної (залишкової). Пружні – це деформації, які зникають при розвантаженні тіла. Пластичні – такі, що залишаються після розвантаження.

За нормальної експлуатації інженерних конструкцій не допускаються пластичні

деформації, коли розміри і форми елементів конструкцій незворотньо змінюються. Визначення умов виникнення та зростання пластичних деформацій має велике значення для знаходження тих навантажень, які безпечно можуть передаватися на конструкцію.

При навантажуванні твердого тіла у ньому виникають внутрішні сили взаємодії між частками, що протидіють зовнішнім силам. При збільшенні навантаження внутрішні сили також зростають, але до певної межі, яка залежить від властивостей матеріалу. Настає момент, колі вже тіло не здатне чинити опір зростанню навантаження. Тоді воно руйнується.

На рисунку 2.1 показаний типовий графік залежності напруження, яке виникає в тілі при деформації від величини відносного видовження.

При малих деформаціях напруження зростає лінійно із видовженням. Цю область кривої називають областю пружних деформацій. Якщо зняти прикладену силу, то тіло повертає свої розміри й форму. При зростанні деформації реакція тіла втрачає лінійність, а ще при більшій деформації починається область пластичності. При такій деформації тіло вже не повертає собі попередні розміри й форму. В цій області проявляється явище повзучості – зміни розмірів тіла з часом при незмінній силі розтягу. В цій області тіло сильно розтягається при незначному збільшенні прикладеної сили. При певній деформації наступає розрив.

В залежності від величини області пластичної деформації матеріали поділяються на пластичні й крихкі. У крихких матеріалів область пластичної деформації дуже вузька. Крихкість речовин сильно залежить від температури. При низьких температурах тіла схильні руйнуватися при менших навантаженнях. Особливо це стосується полімерних матеріалів, які при високих температурах надзвичайно пластичні, а на морозі легко ламаються.

Для спрощення розрахунків елементів конструкцій на міцність, жорсткість та стійкість необхідно користуватися певними допущеннями та гіпотезами про властивості матеріалів і характер їх деформацій.

Основними допущеннями про характер деформацій є наступні:

1. Переміщення, що утворюються в пружних тілах під дією зовнішніх сил, дуже малі у порівнянні з розрізами елементів, які розглядаються. Це допущення дозволяє в багатьох випадках нехтувати змінами розмірів тіл при деформації і пов’язаними з цим змінами в розміщенні сил.

2. Переміщення точок пружного тіла прямо пропорційне діючим навантаженням. Це справедливо у відомих межах навантаження. Елементи та конструкції, які підпорядковуються даному допущенню, називають лінійно деформованими.

3. Внаслідок малого переміщення, що виникає під час розрахунку деталей машин та конструкцій, і прямо пропорційної залежності переміщення від навантаження можна вважати, що зовнішні сили діють незалежно одна від одної. Це положення відоме під назвою принцип незалежності дії сил (або принцип суперпозиції).

3. Види деформації.

В опорі матеріалів вивчають такі основні види деформацій стрижня:

ü розтягання-стискання,

ü зсув (зріз),

ü кручення,

ü згинання.

3.1 Деформація розтягання-стискання

Розтягання або стискання виникає тоді, коли до стержня вздовж осі прикладені протилежно спрямовані сили. При цьому відбувається переміщення перерізів вздовж осі стержня, що при розтяганні подовжується а при стисканні вкорочується.

Деформація розтягу (рис. 2.2) кількісно характеризується абсолютним (Δl) та відносним видовженням, що дорівнює відношенню абсолютного видовження до початкової довжини.

На розтягання або стискання працюють багато елементів конструкцій: стержні ферм, колони, штоки поршневих машин, стяжні гвинти, тощо.

Необхідно пам'ятати, що при прикладенні до тіла сили в одному напрямку, змінюється не лише довжина, а й поперечні розміри тіла. Зазвичай при розтягу тіло тоншає. Цю властивість матеріалу при розтягу (стиску) характеризує коефіцієнт Пуассона.

3.2 Деформація зсуву (зрізу)

Деформація зсуву — вид деформації, при якому зовнішні сили зміщують два паралельних плоских перерізи один відносно одного при незмінній відстані між ними. Зміщення а (рис. 2.3) називають абсолютним зсувом.

Відношення абсолютного зсуву до відстані h між площинами, що зміщуються (тангенс кута γ) називають відносним зсувом.

Унаслідок малості кута γ при пружних деформаціях його тангенс вважають рівним куту перекосу розглядуваного елемента:

Відносний зсув є кутовою деформацією, яка характеризує перекіс елемента. На зсув та зріз працюють заклепки й болти, що скріплюють елементи, які зовнішні сили намагаються зсунути один відносно одного.

Дата добавления: 2014-12-07