Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Друга теорема розвинення




Перша теорема розвинення

Теорема: Якщо зображення являє собою степеневий ряд за від¢ємними степенями р з ненульовим радіусом збіжності, тобто, якщо

(6.10.1)

то оригіналом зображення є степеневий ряд за невід¢ємними степенями , тобто

(6.10.2)

який збігається при усіх .

Очевидно, що формальна відповідність рядів (5.10.1) і (5.10.2) мається, бо .

Доводиться, що ряд (6.10.2) сходиться рівномірно і його сума дорівнює оригіналу для функції .

Приклад 1. Знайти оригінал функції

Розв¢язання

Функція є сумою степеневого ряду, що збігається при , тобто

Отже, на підставі першої теореми розвинення, маємо:

.

Відповідь:

.

Теорема: Якщо зображення – правильний раціональний нескоротний дріб, знаменник , якого має лише прості корені , тобто , то

, (6.11.1)

де

.

Доведення

Як відомо, у випадку простих коренів знаменника правильний раціональний дріб розкладається на найпростіші дроби в такий спосіб:

Множення обох частин цієї рівності на двочлен дає:

відкіля, переходячи до границі при , визначається

причому , бо – простий корінь. Далі за теоремою зсуву , а на підставі властивості лінійності зображення

.

Приклад 1. Знайти оригінал функції .

Розв¢язання

За другою теоремою розвинення, маємо:

.

Відповідь:

.

Цей же приклад можна розв¢язати і наступним шляхом:

.


7 Таблиця основних відповідностей

«оригінал» – «зображення»

№ п/п Оригінал Зображення
 
   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
 
№ п/п Оригінал Зображення
   
 
 

 


8 Розв¢язання звичайних лінійних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами операційним методом

Нехай необхідно розв¢язати задачу Коші

(8.1)

для диференціального рівняння -го порядку

(8.2)

де – дійсні числа – задані числа (початкові умови).

Задачу (8.1), (8.2) можна розв¢язати, отримавши спочатку загальне розв¢язання рівняння (8.2), яке є сумою загального розв¢язку відповідного однорідного (без правої частини) рівняння і будь-якого окремого розв¢язку рівняння (8.2). Загальний розв¢язок рівняння (8.2) має довільних сталих, які визначаються таким чином, щоб задовольнялися початкові умови (8.1).

Але, значно простіше і раціональніше задача Коші (8.1), (8.2) розв¢язується операторним методом.

При розв¢язанні задачі (8.1), (8.2) операційним методом передбачається, що шукана функція , усі її розглянуті похідні, а також функція (права частина рівняння (8.2)) є функціями-оригіналами.

Нехай і .

За формулою диференціювання оригіналу

і початковими умовами (8.1) маємо:

…………………………………………...... (8.3)

Далі, користаючись властивістю лінійності і ураховуючи відповідності (8.3), переходять від диференціального рівняння (8.2) до відповідного йому алгебраїчному рівнянню щодо зображення шуканої функції , які є розв¢язком задачі (8.1), (8.2):

або

або коротко

(8.4)

де і – алгебраїчні багаточлени степенів і відповідно щодо параметра р.

Рівняння (8.4) називається рівнянням у зображеннях, що відповідає диференціальному рівнянню (8.2).

Розв¢язок рівняння (8.4)

(8.5)

називається операторним розв¢язком диференціального рівняння (8.2).

Оригінал y(t), для якого функція Y(p) (8.3) є зображенням, і буде шуканим (причому єдиним у силу теореми єдиності) розв¢язком задачі (8.1), (8.2):

(8.6)

Приклад 1. Розв¢язати задачу Коші

(8.1)

для рівняння

. (8.2)

Розв¢язання

Нехай шукана функція і її похідні є оригіналами і нехай . Тоді

(8.3)

.

Підставивши замість і правої частини в задане диференціальне рівняння відповідні їм зображення, переходять до рівняння в зображеннях:

(8.4)

відкіля

Відповідь:

Перевірка.

Приклад 2. Розв¢язати задачу Коші

(8.1)

. (8.2)

Розв¢язання

Нехай . Тоді , а

Отже, рівняння в зображеннях приймає вид:

або

відкіля

Відповідь:

Перевірка

Примітка Перевага операційного методу інтегрування диференціального рівняння перед класичним методом полягає в тому, що при розв¢язанні операційним методом отримуємо розв¢язання диференціального рівняння, що задовольняє заданим початковим умовам, по ходу його розв¢язання, минаючи одержання загального інтегралу заданого диференціального рівняння. Якщо ж потрібно знайти загальний інтеграл (загальний розв¢язок) диференціального рівняння (8.2), то і його можна одержати операційним методом.

 

Приклад 3. Знайти загальний розв¢язок диференціального рівняння операційним методом.

Розв¢язання

Для одержання загального розв¢язку (інтегралу) беруться довільні початкові умови , . Тоді рівняння в зображеннях буде:

відкіля

Відповідь:

де – довільна стала.


9 Розв¢язання систем лінійних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами операційним методом

Алгоритм розв¢язання системи лінійних диференціальних рівнянь операційним методом, власне кажучи, не відрізняється від алгоритму розв¢язання цим методом одного рівняння.

Приклад 1. Розв¢язати систему диференціальних рівнянь:

(9.1)

при початкових умовах

(9.2)

Розв¢язання

Нехай шукані функції і їхні похідні , а також функції, що є правими частинами системи рівнянь (9.1), є оригіналами і нехай . Тоді

(9.3)

Підставляючи в систему (9.1) замість , і правих частин відповідні їм зображення, одержують систему алгебраїчних рівнянь:

чи

(9.4)

Рішення отриманої системи в зображеннях дає:

(9.5)

Переходячи від зображень (9.5) до відповідного їм оригіналам, одержують шукане рішення задачі (9.1), (9.2):

(9.6)

Приклад 2. Вирішити систему диференціальних рівнянь

(9.1)

при початкових умовах:

. (9.2)

Рішення

Нехай , тоді

(9.3)

Підстановкою в систему (9.1) замість , і правих частин відповідних їм зображень за співвідношеннями (9.3), отримують систему алгебраїчних рівнянь у зображеннях:

(9.4)

Розв¢язання отриманої системи (9.4) дає:

(9.5)

Переходом від зображень (9.5) до відповідних їм оригіналам отримуємо розв¢язок задачі (9.1), (9.2):

(9.6)

Відповідь:

Перевірка:

Легко бачити, що задачу (9.1), (9.2) розв¢язано вірно.


Література

1. Диткин в.А., Прудниіков А.П. Операционное исчисление. –М.: Вышая школа, 1975.-406с.

2. Ефимов Е.М. Математический анализ (специальны разделы, Т.1.-М.: Вышая школа, 1980.-279с.

3. Мартыненко В.С. Операционное исчисление.-К.: Высшая школа, 1990.-477с.

4. Шелковников Ф.А., Такайшвили К.Г. Сборник упражнений по операционному исчислению.-Высшая школа, 1968.-249с.

5. Штокало И.З. Операционное исчисление.- К.: Издательство “Наукова думка”, 1972.

6. Штокало И.З. Операционніе методі и их развитие в теории линейніх дифференциальніх уравнений с переменніми коєффициентами.-К.: Издательство Академии наук УССР, 1961.

7. Ангиенко И.М., Козлов Р.В. Задачи по теории комплексной переменнй.-Минск: Вісшая школа, 1970.


Зміст

Вступ. 3

1 Деякі питання теорії комплексної змінної 4

1.1 Комплексне число та дії над ним.. 4

1.2 Геометрична інтерпретація комплексних чисел. 5

1.3 Піднесення в ступінь і добування кореня з комплексного числа. 7

1.4 Межа послідовності комплексних чисел. 8

1.5 Поняття функції комплексної змінної. Безперервність. 9

1.6 Диференціювання функції комплексної змінної 11

1.7 Інтеграл по комплексній змінній. 12

2Операційне числення. 17

3 Перетворення (перетвір) Лапласа. Оригінал і зображення. 17

4 Теорема єдності зображення. 19

5 Приклади безпосереднього визначення зображень. 20

6 Основні теореми операційного числення. 22

6.1 Теорема подібності 22

6.2 Властивість лінійності зображення. 23

6.3 Теорема загоювання. 24

6.4 Теорема зсуву. 25

6.5 Диференціювання зображення. 26

6.6 Інтегрування зображення. 28

6.7 Теорема множення зображень (теорема про згортку) 29

6.8 Диференціювання оригіналів (зображення похідних оригіналів) 32

6.9 Інтегрування оригіналів(зображення інтегралів) 33

6.10 Перша теорема розвинення. 34

6.11 Друга теорема розвинення. 36

7 Таблиця основних відповідностей. 38

8 Розв¢язання звичайних лінійних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами операційним методом.. 40

9 Розв¢язання систем лінійних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами операційним методом.. 45

Література. 49

Зміст. 50




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-12-07; Просмотров: 1139; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.106 сек.