Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Методика обчислення теоретичних частот нормального розподілу 2 страница




 

y2

 

Після цього знаходиться мінімум функції яка має такий самий вид, як й лінійна функція, тому відповідна система запишеться

 

(16.5)

 

Для отримання системи (16.5) складається відповідна обчислювальна таблиця відносно значень з якої знаходять необхідні для системи суми. Після знаходження отримуємо функцію

 

Приклад:

Статистичні дані собівартості продукції С підприємства і обсягів виробництва продукції Q наведено у вигляді таблиці.

 

Q 1,5 1,6 2,6 3,4 3,8 6,1 8,2 9,1 11,3 11,9
C 8,1 6,8 4,2 2,6 2,3 1,5 1,3 1,1 0,8 1,2

 

Припускаючи, що між змінними C i Q існує гіперболічна залежність, знайти емпіричну формулу за методом найменших квадратів.

 

Рішення

 

Для спрощення обчислень, позначимо собівартість виробленої продукції С через змінну у, а обсяги виробленої продукції Q через змінну х. Зробимо заміну та складемо розрахункову таблицю.

X (Q) Y (C) t t**2 ty (Y) (Y)-Y
1,5 8,1 0,666667 0,444444 5,4 7,523104 -0,5769
1,6 6,8 0,625 0,390625 4,25 7,034387 0,234387
2,6 4,2 0,384615 0,147929 1,615385 4,21487 0,01487
3,4 2,6 0,294118 0,086505 0,764706 3,153404 0,553404
3,8 2,3 0,263158 0,069252 0,605263 2,790271 0,490271
6,1 1,5 0,163934 0,026874 0,245902 1,62646 0,12646
8,2 1,3 0,121951 0,014872 0,158537 1,134031 -0,16597
9,1 1,1 0,10989 0,012076 0,120879 0,992563 -0,10744
11,3 0,8 0,088496 0,007831 0,070796 0,741623 -0,05838
11,9 1,2 0,084034 0,007062 0,10084 0,689288 -0,51071
59,5 29,9 2,801863 1,207471 13,33231 29,9 1,49E-14

Для знаходження параметрів рівняння гіперболи, складемо систему (16.5), яку розв’яжемо за формулами Крамера

 

 

 

 

 

 

Тоді шукане рівняння набуде вигляду

За допомогою знайденого рівняння заповнимо два останні стовпці таблиці. Як видно із значення суми, рівняння знайдено правильно. На рисунку 4 представлено кореляційне поле, побудоване за статистичними даними, та рівняння гіперболи, побудоване за допомогою знайденого рівняння вибіркової лінії регресії.

 

Рис.4

Розділ 16.6. Побудова рівняння показникової функції

Вирівнювання дослідних даних за показниковою функцією здійснюється за допомогою логарифмування і подальшою заміною Тоді отримаємо лінійну залежність параметри якої знаходимо за розглянутим вище методом найменших квадратів.

Приклад:

Статистичні дані витрат на зберігання продукції, що потребує охолодження В і температури зберігання Т наведено у вигляді таблиці.

 

Т -4,2 -3,4 -1,5 -0,6 0,2 1,1 1,4 1,8 2,1 2,3
В 1,2 1,5 2,1 3,2 3,6 4,4 5,1 5,5 6,2 7,3

 

Припускаючи, що між змінними В i Т існує показникова залежність, знайти емпіричну формулу за методом найменших квадратів.

Рішення

 

Для спрощення обчислень позначимо витрати на зберігання продукції В через змінну у, а температуру зберігання Т через змінну х. Зробимо заміну та складемо розрахункову таблицю.

 

X Y Y1=lgy 1 x**2 (Y) (Y)-y
-4,2 1,2 0,079181 -0,33256 17,64 1,161586 -0,03841
-3,4 1,5 0,176091 -0,59871 11,56 1,435501 -0,0645
-1,5 2,1 0,322219 -0,48333 2,25 2,373502 0,273502
-0,6 3,2 0,50515 -0,30309 0,36 3,011866 -0,18813
0,2 3,6 0,556303 0,111261 0,04 3,722097 0,122097
1,1 4,4 0,643453 0,707798 1,21 4,723171 0,323171
1,4 5,1 0,70757 0,990598 1,96 5,11347 0,01347
1,8 5,5 0,740363 1,332653 3,24 5,684492 0,184492
2,1 6,2 0,792392 1,664023 4,41 6,15423 -0,04577
2,3 7,3 0,863323 1,985643 5,29 6,48876 -0,81124
-0,8 40,1 5,386044 5,074284 47,96 39,86867 -0,23133

 

Аналогічно до методики побудови рівняння прямої, знайдемо коефіцієнти і

 

 

 

 

 

 

Повертаємося до заміни і знаходимо коефіцієнти

 

 

Таким чином, шукане рівняння набуде вигляду

 

 

За допомогою знайденого рівняння заповнимо два останні стовпці таблиці. Як видно із значення суми, рівняння знайдено правильно. На рисунку 5 представлено кореляційне поле, побудоване за статистичними даними, та рівняння показникової функції, побудоване за допомогою знайденого рівняння вибіркової лінії регресії.

 

Рис. 5.

Розділ 16.7.Знаходження параметрів множинної лінійної залежності

 

 

У моделюванні економічних процесів найбільшого розповсюдження набула залежність

 

. (16.6)

 

Досить поширене використання цієї залежності пояснюється відносною простотою як її побудови, так і інтерпритації параметрів. Застосуємо до обчислення параметрів залежності (16.6) метод найменших квадратів.

 

 

Одержуємо систему

 

 

 

Після елементарних перетворень одержуємо систему рівнянь, з якоъ знаходимо параметри рывняння (10.6).

 

 

 

(16.7)

 

 

Аналогічним чином, можна побудувати трьохфакторне рівняння

 

 

. (16.8)

 

 

Після перетворень система (16.7) для визначення параметрів рівняння (16.8) набуде вигляду

 

(16.9)

 

Приклад: Розрахуємо параметри трьохфакторної лінійної функції, що встановлює залежність виробництва валової продукції у, млн. грн. підприємств від суми основних х1 і оборотних х2 виробничих фондів, млн. грн. і середньорічної чисельності працюючих х3, чол. Вихідні дані для побудови виробничої функції представлені у таблиці 1.

 

 

Таблиця 1

 

Виробничі фонди, число працюючих і виробництво валової продукції підприємств

 

х1 х2 х3 у
      4,1       16,81       41,0 12,3  
      5,6       31,36       67,2 28,0  
      3,1       9,61       21,7 6,2  
      6,4       40,96       83,2 38,4  
      8,6       73,96       154,8 60,2  
      5,5       30,25       60,5 27,5  
      11,0       121,00       253,0 110,0  
      7,9       62,41       126,4 63,2  
      3,8       14,44       26,6 11,4  
      8,5       72,25       144,5 59,5  
      64,5       473,05       978,9 416,7  

 

Підставимо значення сум у систему (16.9) і одержимо систему з чотирьох рівнянь і чотирьох невідомих.

 

 

 

Знайдемо розв’язок системи (наприклад за методом Гаусса)

 

 

Звідси, лінійна функція, що відображає зв’язок виробництва вадової продукції від суми основних і оборотних фондів та числа працюючих, набуде вигляду

 

.

 

Для перевірки точності обрахунків порівняємо емпіричні і теоретичні значення функції

 

4,1 5,6 3,1 6,4 8,6 5,5 11,0 7,9 3,8 8,5 64,5
4,073 5,624 3,140 6,373 8,587 5,480 11,018 7,912 3,798 8,495 64,500

Як видно, сумарні значення емпіричних і теоретичних частот співпадають.

 

Розділ 17.1. Кореляційна таблиця

При великій кількості спостережень одне й теж значення х може зустрічатися пх раз, одне й те ж значення упу раз, одна й таж пара чисел(х; у) може спостерігатися пху раз. Тому ці спостереження групуються, тобто підраховуються частоти пх, пу і пху. Всі згруповані дані записуються у вигляді таблиці, яку називають кореляційною.

Приклад:

Кореляційну таблицю можна представити наступним чином

 

У Х пу
       
-3          
           
пх         п =25

 

У першому рядку таблиці вказано значення ознаки Х, що спостерігалася:

(5; 10; 15; 20), а у першому стовпці ознаки У: (-3; 3). На перетині рядків і стовпців знаходяться частоти пар значень ознак пху, що спостерігаються. Наприклад, частота 1 знаходиться на перетині значень ознак Х =5 і У = -3, тобто пара (5; -3) зустрічається 1 раз. В останній нижній клітині наведена кількість пар

(х; у).

 

Розділ 17.2. Відшукування параметрів вибіркового рівняння прямої лінії регресії по згрупованим даним

В занятті 16 для визначення прямої лінії регресії користувалися методом найменших квадратів. Але коли одні й ті ж пари зустрічаються часто або обсяги вибірок великі, працювати з не згрупованими даними важко. Тоді складають кореляційну таблицю. Використаємо систему (16.3) заняття 16 для побудови кореляційного рівняння прямої лінії

 

Перепишемо її так, щоб вона відображала дані кореляційної таблиці. Для цього використаємо тотожності

 

Підставимо наведені вище тотожності у систему і одержимо

 

або

(17.1)

 

Із системи (17.1) за формулами Крамера знайдемо параметри і

 

 

 

Таким чином, рівняння прямої лінії набуде вигляду . Із другого рівняння системи (17.1) знайдемо .

Тому введемо нову величину – вибірковий коефіцієнт кореляції, тоді рівняння прямої лінії регресії буде мати вигляд

 

. (17.2)

 

Знайдемо коефіцієнт регресії з системи (17.1) і її розв’язку, враховуючи що за теоремою про знаходження дисперсії

 

. (17.3)

 

Помножимо обидві частини рівності (17.3) на дріб і одержимо

 

.

 

Позначимо праву частину через і назвемо цю величину вибірковим коефіцієнтом кореляції. Тоді

 

(17.4)

 

 

Перетворивши рівняння (17.2) одержимо вибіркове рівняння прямої лінії регресії У на Х

. (17.5)

 

Розділ 17.3. Вибірковий коефіцієнт кореляції

Як видно з формули (17.4) вибірковий коефіцієнт кореляції визначається за формулою

 

де і - варіанти (значення, що спостерігаються) ознак Х і У; - частота пари варіант ; - обсяг виборки (сума всіх частот); - вибіркові середні квадратичні відхилення; - вибіркові середні.

Відомо, що якщо величини Х і У є незалежними, тоді коефіцієнт кореляції , якщо ж величини Х і У мають лінійну функціональну залежність, тоді . Звідси видно, що коефіцієнт кореляції вимірює тісноту лінійного зв’язку між Х і У.

В свою чергу вибірковий коефіцієнт кореляції є оцінкою коефіцієнта кореляції генеральної сукупності і тому може застосовуватися для оцінки лінійного зв’язку між величинами У і Х.

 

Методика обчислення вибіркового коефіцієнта кореляції

Нехай необхідно за даними кореляційної таблиці обчислити вибірковий коефіцієнт кореляції. Використаємо метод добутків обчислення числових характеристик, для цього перейдемо до умовних варіант

і (17.6)

У цьому випадку вибірковий коефіцієнт кореляції обчислюють за формулою

 

(17.7)

 

Величини можна обчислити методом добутків (дивись заняття 14). Проблема полягає в обчисленні , де - частота пари умовних варіант . Для цього використаємо формули

де

(17.8)

де

 

Приклад:

Обчислити вибірковий коефіцієнт кореляції за даними кореляційної таблиці

           
      - -      
    -     -    
  - -   -   -  
          - -  
    - -        
           

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-12-07; Просмотров: 549; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.121 сек.