Определенный интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла

Основные свойства неопределенного интеграла

Неопределенный интеграл

Основные теоретические сведения.

1. Неопределенным интегралом функции f (x) называется множество всех ее первообразных F (x) + C и обозначается символом , где функция F (x) называется первообразной функции f (x): .

2. . 3. .

4. . 5. .

6. Если , то .

Таблица интегралов

7. . 8. .

9. . 10. .

11. . 12. .

13. . 14. .

15. . 16. .

17. . 18. .

19. . 20. .

21. . 22. .

23. . 24. .

25. Теорема о замене переменной в неопределенном интеграле: пусть требуется найти интеграл от сложной функции вида , тогда если заменой , интеграл сводится к табличному , то справедлива формула .

26. Формула интегрирования по частям: .

27. Некоторые интегралы, вычисляемые по частям:

1-я группа	2-я группа
	u = Pn (x)				dv = Pn (x)

3-я группа: , , , , , , , и др.

1. Пусть на отрезке [ a; b ] задана функция f (x). Произвольным образом разобьем отрезок [ a; b ] на n частей точками a = x ₀ < x ₁ < x ₂ < … <
< x_{k –1} < x_k < … < x_n = b. Обозначим через D x_k = xk – x_{k –1} – длину k -го отрезка. На каждом отрезке [ x_{k –1}; x_k ] возьмем произвольно точку x _k и вычислим в ней значение функции f (x _k). Найдем все произведения f (x _k)D x_k и составим интегральную сумму . Если существует конечный предел интегральной суммы при n → ¥, не зависящий ни от способа разбиения отрезка [ a; b ] на части, ни от выбора точек x _k, то этот предел называется определенным интегралом от функции f (x) на отрезке [ a; b ] и обозначается символом .

2. – формула Ньютона-Лейбница.

3. – формула интегрирования по частям.

4. Геометрический смысл определенного интеграла: интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной слева и справа прямыми и , осью и сверху графиком функции (рис. 8).

Рис. 8 Рис. 9

Приложения определенного интеграла в геометрии

5. Площадь криволинейной трапеции в декартовой прямоугольной системе координат (рис. 8) вычисляется по формуле: . Если на (график функции лежит ниже оси ), то .

6. Если криволинейная трапеция ограничена сверху кривой, заданной параметрически то площадь фигуры равна: , где и соответствуют значениям и .

7. Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой и двумя лучами и в полярных координатах (рис. 9) вычисляется по формуле: .

8. Если кривая задана уравнением в декартовой прямоугольной системе координат, то длина этой кривой от точки до точки вычисляется по формуле: . Если кривая определяется уравнением , то .

9. Если кривая задана параметрически , то длина кривой вычисляется по формуле: , где и соответствуют значениям и .

10. Если кривая задана уравнением в полярных координатах, то ее длина между лучами и равна: .

11. Объем тела, образованного вращением вокруг оси криволинейной трапеции (рис. 8), вычисляется по формуле: . Если эту криволинейную трапецию вращать вокруг оси , то объем тела вращения равен , причем .

12. Если криволинейная трапеция ограничена кривой (), осью и прямыми и (рис. 10), то объем полученного тела вращения вокруг оси равен: .

Рис. 10

13. Если дуга кривой, заданная в декартовых прямоугольных координатах , где , вращается вокруг оси , то площадь поверхности вращения вычисляется по формуле: .

14. Если дуга кривой , где вращается вокруг оси , то площадь поверхности вращения вычисляется по формуле: .

15. Если дуга кривой задана параметрически где , то площадь поверхности вращения вокруг оси равна: .

16. Если дуга задана в полярных координатах , где , то .

Дата добавления: 2014-11-29