Момент инерции. Лекция 4. Динамика вращательного движения твердого тела

Лекция 4. Динамика вращательного движения твердого тела.

Обзор ситуации в отрасли консалтинга

Как отмечает Ярмиш, на начало века по оценкам экспертов емкость рынка консалтинговых услуг составляла более ПО млрд долл. США.

Динамика доходов консалтинговых компаний мира впечатляет своими темпами роста: в первой половине 90-х гг. — 20% в год, к концу XX столетия — примерно 13%. Наибольший рост наблюдался в сфере консультационных услуг, которая по приведенной ранее классификации относится к стратегическому развитию организаций,— 18% в год.

Динамика численности консультантов в консалтинго­вых фирмах, приведенная на рис. 3.3, свидетельствует о сред­негодовом приросте в размере 13%, который по прогнозам в начале второго тысячелетия сократится до 9% в год.

Распределение общего количества консультантов первой тридцатки лидеров консалтингового бизнеса в начале третьего тысячелетия и средней доходности, при­ходящейся на одного консультанта, приведено на рис. 3.4, который показывает, что основная масса консультан­тов сосредоточена в первых десяти компаниях, но луч­шую рентабельность консультационной деятельности демонстрируют компании второй десятки.

[1] гл.4, §16-19

План лекции

1. Момент инерции.

2. Момент силы. Основное уравнение динамики вращательного движения.

3. Момент импульса.

(Рассмотрим опыт со скатывающимися цилиндрами.)

При рассмотрении вращательного движения необходимо ввести новые физические понятия: момент инерции, момент силы, момент импульса.

Момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении тела вокруг неподвижной оси.

Момент инерции материальной точки относительно неподвижной оси вращения равен произведению её массы на квадрат расстояния до рассматриваемой оси вращения (рис.1):

.

зависит только от массы материальной точки и её положения относительно оси вращения и не зависит от наличия самого вращения.

Момент инерции - скалярная и аддитивная величина

Момент инерции тела равен сумме моментов инерции всех его точек

.

В случае непрерывного распределения массы эта сумма сводится к интегралу:

,

где - масса малого объема тела , - плотность тела, - расстояние от элемента до оси вращения.

Момент инерции является аналогом массы при вращательном движении. Чем больше момент инерции тела, тем труднее изменить угловую скорость вращаемого тела. Момент инерции имеет смысл только при заданном положении оси вращения.

Бессмысленно говорить просто о “моменте инерции”. Он зависит:

1)от положения оси вращения;

2)от распределения массы тела относительно оси вращения, т.е. от формы тела и его размеров.

Экспериментальным доказательством этого является опыт со скатывающимися цилиндрами.

Произведя интегрирование для некоторых однородных тел, можно получить следующие формулы (ось вращения проходит через центр масс тела):

1. Момент инерции обруча (толщиной стенок пренебрегаем) или полого цилиндра:

2. Момент инерции диска или сплошного цилиндра радиуса R:

,

где .

3. Момент инерции шара

4. Момент инерции стержня

Если для тела известен момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс, то момент инерции относительно любой оси, параллельной первой, находится по теореме Штейнера: момент инерции тела относительно произвольной оси равен моменту инерции J₀ относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния между осями.

,

где d расстояние от центра масс до оси вращения.

Центр масс - воображаемая точка, положение которой характеризует распределение массы данного тела. Центр масс тела движется так же, как двигалась бы материальная точка той же массы под действием всех внешних сил, действующих на данное тело.

Понятие момента инерции было введено в механику отечественным ученым Л. Эйлером в середине XVIII века и с тех пор широко используется при решении многих задач динамики твердого тела. Значение момента инерции необходимо знать на практике при расчете различных вращающихся узлов и систем (маховиков, турбин, роторов электродвигателей, гироскопов). Момент инерции входит в уравнения движения тела (корабля, самолета, снаряда, и т.п.). Его определяют, когда хотят узнать параметры вращательного движения летательного аппарата вокруг центра масс при действии внешнего возмущения (порыва ветра и т.п.). Для тел переменной массы (ракеты) с течением времени изменяется масса и момент инерции.

Дата добавления: 2014-12-07