ЛЕКЦИЯ №

Комбинированный метод (схема с весами).

Схема Дюфорта-Франкела.

Схема Ричардсона

Схема Кранка-Николсона.

Неявная схема

.

получаем неявную двухслойную схему:

(4)

которая аппроксимирует уравнение (1) с погрешностью о (t/h²).

Здесь r =t/ h/².

Схема (4) аппроксимирует уравнение (1) только во внутренних узлах сетки, поэтому число уравнений в схеме (4) меньше числа неизвестных . Недостающие уравнения получают из краевых условий

(5)

Схема (4)-(5) неявная, поэтому значения находят как решение системы линейных уравнений (4).

Для решения системы (4) можно применять метод прогонки, система (4) обладает трехдиагональной матрицей. Таким образом, решив систему разностных уравнений, найдем значения функции U на временном слое n+1, если известно решение на временном слое n.

Итак, алгоритм численного решения задачи имеет следующий вид.

На нулевом временном слое (n = 0) решение известно из начального условия

На каждом следующем слое искомая функция определяется как решение системы (4)-(5).

Замечательным свойством неявной схемы (4) является ее устойчивост ь при любых значениях параметра r=th//²>0.

Множитель перехода

погрешностью о (t², h²). Правая часть определяется полусуммой производных на n и n+1 слоях

Абсолютно устойчивая разностная схема, решается методом прогонки.

погрешность аппроксимации о (t², h²).

Абсолютно неустойчивая разностная схема.

Абсолютно неустойчивый метод Ричардсона можно сделать устойчивым, заменив

Явная трехслойная разностная схема

погрешность аппроксимации о (t², h² ,(t/h)²).

Чтобы удовлетворить условию согласованности, нужно чтобы

Если , то разностная схема Дюфорта-Франкела апрроксимирует другое уравнение (гиперболического типа).

где

Все предыдущие методы являются частными случаями 6:

При - простой явный метод;

При - неявный метод;

При - метод Кранка – Николсона.

Погрешность аппроксимации равна , за исключением трех частных случаев:

1. - метод Кранка – Николсона,

2.

3. и

Метод абсолютно устойчив (неявный) при

Если , то метод устойчив при

Дата добавления: 2014-12-07