КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Определение скоростей точек плоской фигуры
Уравнения плоского движения. Основная теорема Движение плоской фигуры в своей плоскости складывается из двух движений: поступательного вместе с произвольно выбранной точкой (полюсом), и вращательного вокруг этого полюса. Положение плоской фигуры на плоскости определяется положением выбранного полюса и углом поворота вокруг этого полюса, поэтому плоское движение описывается тремя уравнениями:
Первые два уравнения (рис.5) определяют то движение, которое фигура совершала бы при φ = const, очевидно, что это движение будет поступательным, при котором все точки фигуры будут двигаться так же, как полюс А. Третье уравнение определяет движение, которое фигура совершала бы при хА = const и уА = const, т.е. когда полюс А будет неподвижен; это движение будет вращением фигуры вокруг полюса А. При этом вращательное движение не зависит от выбора полюса, а поступательное движение характеризуется движением полюса. Зависимость между скоростями двух точек плоской фигуры. Рассмотрим две точки А и В плоской фигуры. Положение точки В относительно неподвижной системы координат Оху определяется радиусом-вектором rB (рис.5): rB = rA + ρ, где rA - радиус-вектор точки А, ρ = АВ вектор, определяющий положение точки В относительно подвижных осей Ах1у1, перемещающихся поступательно вместе с полюсом А параллельно неподвижным осям Оху. Тогда скорость точки В будет равна . В полученном равенстве величина является скоростью полюса А. Величина равна скорости, которую точка В получает при = соnst, т.е. относительно осей Ах1у1 при вращении фигуры вокруг полюса А. Введем для этой скорости обозначение : .
Следовательно,
. (2) Скорость вращательного движения точки направлена перпендикулярно отрезку АВ и равна
Модуль и направление скорости точки В находится построением соответствующего параллелограмма (рис.6).
Пример 1. Найти скорости точек А, В и D обода колеса, катящегося по прямолинейному рельсу без скольжения, если скорость центра колеса С равна VC. Решение. Выбираем точку С, скорость которой известна за полюс. Тогда скорость точки А равна , где и по модулю . Значение угловой скорости ω найдем из условия того, что точка Р колеса не скользит по рельсу и, следовательно, в данный момент равна нулю VР = 0. В данный момент скорость точки Р равна , где . Так как в точке Р скорости и направлены по одной прямой противоположные стороны и VР = 0, то VPC = VC, откуда получаем, что ω = VC./R, следовательно, VAC = ω R = VC. Скорость точки А является диагональю квадрата, построенного на взаимно перпендикулярных векторах и , модули которых равны, следовательно Аналогично определяется скорость точки D. Скорость точки B равна , при этом скорости и равны по модулю и направлены по одной прямой, поэтому VB = 2VC. Пример2: Стержень АВ совершает плоское движение, которое можно представить как падение без начальной скорости под действием силы тяжести и вращение вокруг центра тяжести С с постоянной угловой скоростью . Определить уравнения движения точки В, если в начальный момент стержень АВ был горизонтален, а точка В была справа. Ускорение силы тяжести q. Длина стержня 2l. Начальное положение точки С взять за начало координат, а оси координат направить, как указано на рисунке. Решение. На основании теоремы о разложении движения плоской фигуры на поступательное и вращательное напишем скорость точки В, взяв в качестве полюса точку С: .
Спроектируем это геометрическое равенство на оси координат: (1) Точка С движется под действием силы тяжести вертикально вниз и проекции ее скорости на оси координат равны и . (2) Относительная скорость направлена перпендикулярно к стержню АВ, величина же . Так как вращение стержня вокруг С равномерное, то угол поворота и, следовательно: (3) На основании соотношений (2) и(3) уравнения (1) примут вид: Производя интегрирование и замечая, что в начальный момент t=0, xB=l и yB=0,получим координаты точки В в следующем виде: (4)
Дата добавления: 2014-12-07; Просмотров: 1469; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |