Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Определение скоростей точек плоской фигуры




Уравнения плоского движения.

Основная теорема

Движение плоской фигуры в своей плоскости складывается из двух движений: поступательного вместе с произвольно выбранной точкой (полюсом), и вращательного вокруг этого полюса.

Положение плоской фигуры на плоскости определяется положением выбранного полюса и углом поворота вокруг этого полюса, поэтому плоское движение описывается тремя уравнениями:

 

 

Первые два уравнения (рис.5) определяют то движение, которое фигура совершала бы при φ = const, очевидно, что это движение будет поступательным, при котором все точки фигуры будут двигаться так же, как полюс А.

Третье уравнение определяет движение, которое фигура совершала бы при хА = const и уА = const, т.е. когда полюс А будет неподвижен; это движение будет вращением фигуры вокруг полюса А.

При этом вращательное движение не зависит от выбора полюса, а поступательное движение характеризуется движением полюса.

Зависимость между скоростями двух точек плоской фигуры.

Рассмотрим две точки А и В плоской фигуры. Положение точки В относительно неподвижной системы координат Оху определяется радиусом-вектором rB (рис.5):

rB = rA + ρ,

где rA - радиус-вектор точки А, ρ = АВ

вектор, определяющий положение точки В

относительно подвижных осей Ах1у1, перемещающихся поступательно вместе с полюсом А параллельно неподвижным осям Оху.

Тогда скорость точки В будет равна

.

В полученном равенстве величина является скоростью полюса А.

Величина равна скорости, которую точка В получает при = соnst, т.е. относительно осей Ах1у1 при вращении фигуры вокруг полюса А. Введем для этой скорости обозначение :

.

 

Следовательно,

 

В
Скорость любой точки В плоской фигуры равна геометрической сумме скорости VA выбранного полюса А и скорости VBA точки во вращательном движении вокруг полюса (рис.6):

. (2)

Скорость вращательного движения точки направлена перпендикулярно отрезку АВ и равна

Модуль и направление скорости точки В находится построением соответствующего параллелограмма (рис.6).

 

Пример 1. Найти скорости точек А, В и D обода колеса, катящегося по прямолинейному рельсу без скольжения, если скорость центра колеса С равна VC.

Решение. Выбираем точку С, скорость которой известна за полюс. Тогда скорость точки А равна

,

где и по модулю .

Значение угловой скорости ω найдем из условия того, что точка Р колеса не скользит по рельсу и, следовательно, в данный момент равна нулю VР = 0.

В данный момент скорость точки Р равна

, где .

Так как в точке Р скорости и направлены по одной прямой противоположные стороны и VР = 0, то VPC = VC, откуда получаем, что ω = VC./R, следовательно, VAC = ω R = VC.

Скорость точки А является диагональю квадрата, построенного на взаимно перпендикулярных векторах и , модули которых равны, следовательно

Аналогично определяется скорость точки D. Скорость точки B равна

, при этом скорости и равны по модулю и направлены по одной прямой, поэтому VB = 2VC.

Пример2:

Стержень АВ совершает плоское движение, которое можно представить как падение без начальной скорости под действием силы тяжести и вращение вокруг центра тяжести С с постоянной угловой скоростью .

Определить уравнения движения точки В, если в начальный момент стержень АВ был горизонтален, а точка В была справа. Ускорение силы тяжести q. Длина стержня 2l. Начальное положение точки С взять за начало координат, а оси координат направить, как указано на рисунке.

Решение. На основании теоремы о разложении движения плоской фигуры на поступательное и вращательное напишем скорость точки В, взяв в качестве полюса точку С: .

Спроектируем это геометрическое равенство на оси координат:

(1)

Точка С движется под действием силы тяжести вертикально вниз и проекции ее скорости на оси координат равны и . (2)

Относительная скорость направлена перпендикулярно к стержню АВ, величина же . Так как вращение стержня вокруг С равномерное, то угол поворота и, следовательно:

(3)

На основании соотношений (2) и(3) уравнения (1) примут вид:

Производя интегрирование и замечая, что в начальный момент t=0, xB=l и yB=0,получим координаты точки В в следующем виде:

(4)

 

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-12-07; Просмотров: 1469; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.013 сек.