Дифференциальный криптоанализ

Дополнительные результаты

Были предприняты и другие попытки криптоанализировать DES. Один из криптографов искал закономерн о-сти, используя спектральные тесты [559]. Другие анализировали последовательность линейных множителей, но их вскрытие потерпело неудачу после восьми этапов [1297, 336, 531]. Неопубликованное вскрытие, выполне н-ное в 1987 году Дональдом Дэвисом (Donald Davies), использовало способ, с помощью которого перестановка с расширением повторяет биты в соседних S-блоках, это вскрытие также оказалось бесполезным после восьми этапов [172, 429].

12.4 Дифференциальный и линейный криптоанализ

В 1990 году Эли Бихам и Ади Шамир ввели понятие дифференциального криптоанализа [167, 168, 171, 172]. Это был новый, ранее неизвестный метод криптоанализа. Используя этот метод, Бихам и Шамир нашли способ вскрытия DES с использованием выбранного открытого текста, который был эффективнее вскрытия гр у-бой силой.

Дифференциальный криптоанализ работает с парами шифротекстов, открытые тексты которых содержат определенные отличия. Метод анализирует эволюцию этих отличий в процессе прохождения открытых текстов

через этапы DES при шифровании одним и тем же ключом.

Просто выберем пару открытых текстов с фиксированным различием. Можно выбрать два открытых текста случайным образом, лишь бы они отличались друг от друга определенным образом, криптоаналитику даже не нужно знать их значений. (Для DES термин "различие" определяется с помощью XOR. Для других алгоритмов этот термин может определяться по другому.) Затем, используя различия в получившихся шифротекстах, пр и-своим различные вероятности различным ключам. В процессе дальнейшего анализа следующих пар шифроте к-стов один из ключей станет наиболее вероятным. Это и есть правильный ключ.

Подробности гораздо сложнее. На 7-й представлена функция одного этапа DES. Представьте себе пару вх о-дов, ХиХ', с различием АХ. Выходы, 7 и У известны, следовательно, известно и различие между ними А У. Из­вестны и перестановка с расширением, и Р-блок, поэтому известны АА и АС. В и В' неизвестны, но их разность AS известна и равна АА. (При рассмотрении различия XOR К, с А и А' нейтрализуются.) Пока все просто. Фокус вот в чем: для любого заданного АА не все значения АС равновероятны. Комбинация АА и АС позволяет пред­положить значения битов для A XOR К, и А' XOR K_t. Так как А и А' известны, это дает нам информацию о K_t.

X

D x

Е

Е(Х)	*С\		К
	D	h*
		^>(J

i

S-блок

DC

P

D Y

Y

Рис. 12-5. Функция этапа DES.

Взглянем на последний этап DES. (При дифференциальном криптоанализе начальная и заключительная п е-рестановки игнорируются. Они не влияют на вскрытие, только затрудняя объяснение.) Если мы сможем опред е-лить К₁₆, то мы получим 48 битов ключа. (Не забывайте, на каждом этапе подключ состоит из 48 битов 56-битового ключа.) Оставшиеся 8 битов мы можем получить грубым взломом. К₁₆ даст нам дифференциальный криптоанализ.

Определенные различия пар открытых текстов обладают высокой вероятностью вызвать определенные ра з-личия получаемых шифротекстов. Эти различия называются характеристиками. Характеристики распростра­няются на определенное количество этапов и по существу определяют прохождение этих этапов. Существуют входное различие, различие на каждом этапе и выходное различие - с определенной вероятностью.

Эти характеристики можно найти, создав таблицу, строки которой представляют возможные входы XOR (XOR двух различных наборов входных битов), столбцы - возможные результаты XOR, а элементы - сколько раз конкретный результат XOR встречается для заданного входа XOR. Такую таблицу можно сгенерировать для каждого из восьми S-блоков DES.

Например, на 6-йа показана характеристика одного этапа. Входное различие слева равно L, оно может быть произвольным. Входное различие справа равно 0. (У двух входов одинаковая правая половина, поэтому их ра з-личие - 0.) Так как на входе функции этапа нет никаких различий, то нет различий и на выходе функции этапа. Следовательно, выходное различие левой части - L © 0 = L, а выходное различие правой части - 0. Это трив и-альная характеристика, она истинна с вероятностью 1.

На 6-йб показана менее очевидная характеристика. Снова, различие L левых частей произвольно. Входное различие правых частей равно 0x60000000, два входа отличаются только первым и третьим битами. С вероя т-ностью 14/64 различие на выходе функции этапа равно L © 0x00808200. Это означает, что выходное различие левых половин равно L © 0x00808200, а выходное различие правых половин - 0x60000000 (с вероятностью 14/64)

A = L

К,

Т ___ I___

ДХ------ / <* --------

А = 0 --------- А = 0

A = L®0

_д = 0

_д = 0

A = L

т

А = У

т А = /-©0

/

К,

А = Х

А = Х

А = Х

Х= 0x60000000 У = 0x00808200

С вероятностью \ (а)

С вероятностью 14/64 (Ь)

Рис. 12-6. Характеристики DES.

Различные характеристики можно объединять. Также, при условии, что этапы независимы, вероятности м о-гут перемножаться. На 5-й объединяются две ранее описанных характеристики. Входное различие слева равно 0x00808200, а справа - 0x60000000. В конце первого этапа входное различие и результат функции этапа нейтр а-лизуют друг друга, и выходное различие равно 0. Это различие поступает на вход второго этапа, окончательное выходное различие слева равно 0x60000000, а справа - 0. Вероятность этой двухэтапной характерист ики - 14/64.

A= Y т Ф

К,

<* -------- / + --------------

А= У--------- А=Х

А = Х

А = Х

А = Х

* ----------------- / ■* --------------------------------

_д = 0--------- д = 0

А = Х

A = Y

Х= 0x60000000 У = 0x00808200

С вероятностью 14/64 (Ь)

Рис. 12-7. Двухэтапная характеристика DES.

Пара открытых текстов, соответствующих характеристике, называется правильной парой, а пара открытых текстов, несоответствующих характеристике - неправильной парой. Правильная пара подсказывает правильный ключ этапа (для последнего этапа характеристики), неправильная пара - случайный ключ этапа.

Чтобы найти правильный ключ этапа, нужно просто собрать достаточное количество предположений. Один

из подключен будет встречаться чаще, чем все остальные. Фактически, правильный подключ возникнет из всех случайный возможных подключей.

Итак, дифференциальное основное вскрытие п-этапного DES дает 48-битовый подключ, используемый на этапе п, а оставшиеся 8 битов ключа получаются с помощью грубого взлома.

Но ряд заметных проблем все же остается. Во первых, пока вы не перейдете через некоторое пороговое зн а-чение, вероятность успеха пренебрежимо мала. То есть, пока не будет накоплено достаточное количество да н-ных, выделить правильный подключ из шума невозможно. Кроме того, такое вскрытие не практично. Для хр а-нения вероятностей 2⁴⁸ возможных ключей необходимо использовать счетчики, и к тому же для вскрытия п о-требуется слишком много данных.

Бихам и Шамир предложили свой способ вскрытия. Вместо использования 15-этапной характеристики 16-этапного DES, они использовали 13-этапную характеристику и ряд приемов для получения последних нескол ь-ких этапов. Более короткая характеристика с большей вероятностью будет работать лучше. Они также испол ь-зовали некоторые сложные математические приемы для получения вероятных 56-битовых ключей, которые и проверялись немедленно, таким образом устранялась потребность в счетчиках. Такое вскрытие достигает yen e-ха, как только находится правильная пара. Это позволяет избежать порогового эффекта и получить линейную зависимость для вероятности успеха. Если у вас в 1000 раз меньше пар, то вероятность успеха в 1000 раз мен ь-ше. Это звучит ужасно, но это намного лучше, чем порог. Всегда есть некоторая вероятность немедленной уд а-чи.

Результаты являются весьма интересными. В -2-й проведен обзор лучших дифференциальных вскрытий DES с различным количеством этапов [172]. Первый столбец содержит количество этапов. Элементы следующих двух столбца представляют собой количество выбранных или известных открытых текстов, которые должны быть проверены для вскрытия, а четвертый столбец содержит количество действительно проанализированных открытых текстов. В последнем столбце приведена сложность анализа, после обнаружения требуемой пары.

Табл. 12-14. Вскрытие с помощью дифференциального криптоанализа

Количество Выбранные открытые Известные открытые Проанализированные Сложность

этапов	тексты	тексты	открытые тексты	анализа
		^38
		^44		2^32f
	?24	?43	?14	?15
И	?31	?47		2^32f
	?31	?47	?21	?21
	?39	?52		2^32f
	?39	?51	?29	?29
	?47	^56		?37
	?47	?55	^36	?37

t Сложность анализа для этих вариантов может быть значительно уменьшена за счет использования примерно в четыре раза большего количество открытых текстов и метода группировок.

Наилучшее вскрытие полного 16-этапного DES требует 2⁴⁷ выбранных открытых текстов. Можно преобразо­вать его к вскрытию с известным открытым текстом, но для него потребуется уже 2 ⁵⁵ известных открытых тек­стов. При анализе потребуется 2³⁷ операций DES.

Дифференциальный криптоанализ эффективен против DES и аналогичных алгоритмов с постоянными S-блоками. Эффективность вскрытие сильно зависит от структуры S-блоков, блоки DES по счастливой случайн о-сти были оптимизированы против дифференциального криптоанализа. Для всех режимов работы DES - ЕСВ, СВС, CFB и OFB - вскрытие с дифференциальным криптоанализом имеет одинаковую сложность [172].

Устойчивость DES может быть повышена путем увеличения количества этапов. Дифференциальный кри п-тоанализ с выбранным открытым текстом для DES с 17 или 18 этапами потребует столько же времени, сколько нужно для вскрытия грубой силой [160]. При 19 и более этапах дифференциальный криптоанализ становится невозможным, так как для него потребуется более, чем 2 ^м выбранных открытых текстов - не забудьте, DES ис­пользует блоки размером 64 битов, поэтому для него существует только 2 ^м возможных открытых текстов. (В общем случае, вы можете доказать устойчивость алгоритма к дифференциальному криптоанализу, показав, что количество открытых текстов, необходимых для выполнения вскрытия, превышает количество возможных о т-крытых текстов.)

Нужно отметить ряд важных моментов. Во первых, это вскрытие в значительной степени теоретическое. О г-ромные требования к времени и объему данных, необходимых для выполнения вскрытия с помощью дифф е-ренциального криптоанализа, находятся почти для всех вне пределов досягаемости. Чтобы получить нужные данные для выполнения такого вскрытия полного DES, вам придется почти три года шифровать поток выбра н-ных шифротекстов 1.5 Мегабит/с. Во вторых, это в первую очередь вскрытие с выбранным открытым текстом. Оно может быть преобразовано к вскрытию с известным открытым текстом, но вам придется просмотреть все пары "открытый текст/шифротекст" в поисках полезных. В случае полного 16-этапного DES это делает вскр ы-тие чуть менее эффективным по сравнению с грубой силой (вскрытие дифференциальным криптоанализом тр е-бует 2^55Л операций, а вскрытие грубой силой - 2⁵⁵). Таким образом, правильно реализованный DES сохраняет устойчивость к дифференциальному криптоанализу.

Почему DES так устойчив к дифференциальному криптоанализу? Почему S-блоки оптимизированы так, что усложняют такое вскрытие насколько возможно? Почему используется ровно столько, а не больше этапов? П о-тому что создатели DES знали о дифференциальном анализе. Дон Копперсмит из IBM недавно писал [373, 374]:

При проектировании использовались преимущества определенных криптоаналитических методов, особенно метода "дифференциального криптоанализа", который не был опубликован в открытой литературе. После дискуссий с NSA было р е-шено, что раскрытие процесса проектирования раскроет и метод дифференциального криптоанализа, мощь которого может быть использована против многих шифров. Это, в свою очередь, сократило бы преимущество Соединенных Штатов перед другими странами в области криптографии.

Ади Шамир откликнулся, предложив Копперсмиту признаться, что с тех пор ему не удалось найти эффе к-тивного способа вскрытия DES. Копперсмит предпочел отмолчат ься [1426].

Дата добавления: 2014-11-29