КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Системы линейных уравнений
Общий вид СЛУ задается системой: (*) Набор чисел такой, который при подстановке вместо , каждое из уравнений системы обращает в тождество, называется ее частным решением. Найти общее решение СЛУ, значит указать метод, позволяющий получить все частные ее решения. СЛУ называется совместной, если она имеет хотя бы одно частное решение, и несовместной – иначе. Классической является следующая ТЕОРЕМА КРОНЕКЕРА – КАПЕЛЛИ. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг ее основной матрицы равен рангу расширенной. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть СЛУ (*) имеет частное решение . Видно, что столбец из свободных членов СЛУ является линейной комбинацией столбцов ее основной матрицы. Поэтому ранг основной матрицы равен рангу расширенной. Обратно, пусть ранг основной матрицы СЛУ равен рангу расширенной. С точностью до перестановки уравнений и переименования неизвестных можно считать, что минор наивысшего порядка r находится на пересечении первых r строк и столбцов основной матрицы. Следовательно, существуют такие числа , что столбец из свободных членов равен линейной комбинации первых столбцов основной матрицы. Полагая , видно, что () является решением Две СЛУ от одного и того же числа неизвестных называются равносильными, если они обе не совместны, либо множества их частных решений равны. Нетрудно показать, что полученная СЛУ равносильна исходной, если - из СЛУ вычеркнуть уравнение вида ; - обе части какого-то уравнения СЛУ умножить на число, отличное от нуля; - прибавить к одному из уравнений другое, умноженное на некоторое число. Изложим один метод решения СЛУ (*), называемый методом последовательного исключения переменных (или методом Гаусса). Будем считать, что (этого можно всегда добиться с помощью перестановок строк). Попытаемся теперь, умножая первое уравнение на подходящие числа и прибавляя его к последующим, уничтожить в них слагаемые, содержащие . Для этого, умножаем первое уравнение на и прибавляем ко второму, и так далее, пока не умножим первое уравнение на и не прибавим к последнему. Получим равносильную СЛУ вида
Полагаем, что (этого можно добиться, переставляя строки или переименовывая переменные). Затем временно «забываем» про первое уравнение и продолжаем такую процедуру с оставшимися. Если в результате этой процедуры возникнет уравнение вида и , то система несовместна, если же одно из уравнений окажется вида , то это уравнение можно опустить. В результата придем к ступенчатой СЛУ, которая имеет вид Эта часть метода Гаусса часто носит название «прямого хода». Заметим, что число является рангом основной матрицы СЛУ и он равен рангу расширенной. Теперь для нахождения общего решения СЛУ (*) воспользуемся «обратным ходом». Для этого из последнего уравнения системы выразим через . Зная это выражение из предпоследнего уравнения можно выразить также через , и так далее. Наконец получим систему Она равносильна исходной и называется общим решением СЛУ (*). Теперь подставляя вместо неизвестных произвольные значения и вычисляя можно получить все частные решения () СЛУ (*).
Пример 3. Решить систему уравнений Решение. Подвергнем преобразованиям расширенную матрицу этой системы: Ранг основной матрицы системы равен рангу расширенной матрицы и равен двум. Приходим, следовательно, к системе уравнений, равносильной исходной , в которой одна переменная является независимой. В качестве независимой переменной возьмём , и выразим через неё остальные, получим: . Полагая, например, , получим одно из частных решений системы:
Если все свободные члены СЛУ равны , то СЛУ называется системой линейных однородных уравнений (СЛОУ). СЛОУ всегда имеет тривиальное (нулевое) решение . Несложно проверить истинность следующих утверждений: - сумма двух частных решений СЛОУ также является ее частным решением; - если число умножить на частное решение СЛОУ, то получится также ее частное решение. В частности, если СЛОУ зависит от n неизвестных, то множество всех частных решений ее образует подпространство в пространстве . Базис этого подпространства называется фундаментальной системой решений СЛОУ. ТЕОРЕМА(о СЛОУ). Фундаментальная система решений СЛОУ состоит из некоторых ее частных решений, где число неизвестных СЛОУ, а ранг ее основной матрицы. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.Рассмотрим СЛОУ (*), считая, что . Найдем ее общее решение, которое будет иметь вид
Далее свободным неизвестным будем приписывать последовательно , а всем остальным . Получим частных решений, которые сведем в следующую таблицу
Покажем, что векторы образуют фундаментальную систему СЛОУ (*). Минор, стоящий на пересечении всех ее решений и последних их столбцов не равен . Значит, решения линейно независимы. Пусть теперь какое-то ее частное решение. Докажем, что вектор линейно выражается через векторы . Рассмотрим линейную комбинацию , вектор тоже является решением СЛОУ. Имеем, . Но и однозначно определяются в общем решении через значения , придаваемых свободным неизвестным. Поэтому . Таким образом, векторы являются и системой порождающих подпространства решений СЛОУ, т.е. ее базисом. □ СЛЕДСТВИЕ. СЛОУ имеет тривиальное решение в том и только в том случае, когда ранг ее основной матрицы равен числу неизвестных. □ Таблица, приведенная выше, позволяет практически находить фундаментальную систему решений СЛОУ, чем должно заканчиваться ее решение.
Пример 4. Решить систему Решение. Это система однородных уравнений, причём число уравнений меньше числа неизвестных; она будет иметь множество решений. Так как все свободные члены равны нулю, то будем подвергать преобразованиям лишь матрицу из коэффициентов системы:
Мы пришли к системе уравнений В качестве независимых выберем две переменные, например . Выразим остальные переменные через независимые. Получим Тогда фундаментальная система будет иметь следующий вид:
Любое частное решение системы может быть представлено в виде линейной комбинации фундаментальных решений, т. е. общее решение системы
Дата добавления: 2014-11-29; Просмотров: 540; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |