Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Поля вычетов




Пусть множество всех остатков от деления целых чисел на натуральное число , т. е. . Суммой (произведением) двух элементов будем считать остаток от деления этой суммы (произведения) на число . Рассмотрим полученную структуру .

ТЕОРЕМА 6. Если составное, то не является полем.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть составное, т. е. , где и . Тогда по модулю получаем , но и . Так как в поле такого быть не может (теорема 5), то при составном остатки с операциями по модулю не образуют поля. □

Покажем теперь, что в случае простого , является полем. Вначале заметим следующее. Пусть и — два целых числа, - остатки от деления их на , т. е. и . Тогда и , откуда получаем, что числа и , а также числа и дают при делении на одинаковые остатки. Другими словами, мы получим одинаковый результат, если сначала возьмем остатки от деления и на и потом сложим (или умножим) их по модулю , или, если мы сначала сложим (или умножим) и , как обычные натуральные числа, а затем возьмем остаток от деления полученного числа на . Таким образом, при вычислении некоторого выражения с операциями по модулю можно не брать остаток от деления на после каждой операции, а произвести вычисления сначала как с обычными натуральными числами и обычными операциями и только в конце взять остаток от деления полученного числа на . Это позволяет утверждать, что операции сложения и умножения ассоциативны и коммутативны, а также справедлива дистрибутивность умножения относительно сложения.

Нейтральным элементом по сложению является , а единичным элементом по умножению - . Остается показать, что при простом у каждого остатка , отличного от , есть обратный, т. е. что найдется остаток такой, что по модулю . Итак, пусть . Рассмотрим числа

(умножение обычное).

Разность любых двух из этих чисел не делится на , так как простое, а и . Таким образом, все эти чисел дают разные и, следовательно, всевозможные остатки при делении на . Значит, одно из этих чисел дает при делении на остаток , т. е. по модулю для некоторого остатка .

Таким образом, при простом все свойства поля выполняются.

 

В качестве примера приведём таблицы сложения и умножения элементов поля вычетов по модулю 5.

 


         
           
           
           
           
           
         
           
           
           
           
           

По этим таблицам также можно получить разность и частное любых двух элементов.




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-11-29; Просмотров: 1503; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.013 сек.