КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Микрочастица в одномерной прямоугольной потенциальной яме
1. Рассмотрим сначала одномерное движение микрочастицы, причем будем считать, что в области потенциальная энергия равна нулю, а за ее пределами обращается в бесконечность (рис. 3). В этом случае вероятность нахождения микрочастицы за пределами ямы равна нулю и волновая функция обращается в нуль на краях области движения (при и ). В одномерной задаче волновая функция зависит только от координаты x. Поэтому в операторе Лапласа используется только дифференцирование по одной переменной и стационарное уравнение Шредингера является обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка , (84) . Общее решение такого уравнения содержит две произвольные постоянные A и B , которые определяются из дополнительных условий. Из граничного условия на левой границе следует . Граничное условие на правой границе выполняется не для любых значений волнового числа k, а только для квантованных, удовлетворяющих условию , где Это условие квантования позволяет найти собственные функции уравнения Шредингера (84) (85) и собственные значения . (86) Постоянная В определяется из условия нормировки волновых функций и равна Графики собственных функций изображены на рис. 39. На рис. 40 показано распределение плотности вероятности обнаружения частицы на различных расстояниях от стенок ямы, равная . Из графиков, например, следует, что в состоянии с n =2 частица не может быть обнаружена в середине ямы и вместе с тем одинаково часто бывает как в левой, так и в правой половине ямы. Такое поведение частицы, очевидно, несовместимо с представлением о траекториях. Согласно классическим представлениям все положения частицы в яме равновероятны.
2. Мы решили очень упрощенную задачу, но, тем не менее, она охватывает очень многие особенности поведения микрочастиц в реальных системах. Во-первых, отметим, что квантование энергии получается при решении уравнения Шредингера автоматически без введения дополнительных постулатов. В данной конкретной задаче это квантование означает, что в пределах бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной ямы должно укладываться целое количество длин полуволн де Бройля. В этом смысле задача математически эквивалентна задаче о колебаниях закрепленной струны. В самом нижнем энергетическом состоянии (n = 1) энергия микрочастицы отлична от нуля, что соответствует принципу неопределенностей Гейзенберга. Даже в самом нижнем энергетическом состоянии микрочастица не может остановиться (иметь нулевой импульс и определенную координату), и энергию этого состояния называют нулевой энергией. Во-вторых, расстояние между энергетическими уровнями и его относительная величина позволяет сформулировать выводы общие для многих квантовых систем (задач). Прежде всего, отметим, что относительная величина квантования энергии уменьшается с ростом квантового числа n. То есть для более высоких состояний роль квантования понижается: D < < . Затем отметим, что величина квантов энергии D тем меньше, чем больше масса частицы и чем больше область ее движения. Так для молекулы массой m = 10-26 кг , двигающейся в сосуде размером 0,1 м величина квантов энергии настолько мала (например, по сравнению с тепловой энергией при комнатной температуре что энергетический спектр молекулы можно считать квазинепрерывным. Точно также для электрона (m = 10-31 кг ) в кристалле (L = 10-3 м ) энергетический спектр также можно считать квазинепрерывным. Но если область движения электрона порядка атомных размеров (), то энергетический интервал между соседними уровнями
настолько велик по сравнению с тепловой энергией, что не учитывать дискретность энергетических уровней уже нельзя.
Дата добавления: 2014-11-29; Просмотров: 1023; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |