Проекции момента импульса

Собственные функции и собственные значения оператора

Выбрав за ось некоторое произвольное направление в пространстве, определим собственные функции и собственные значения оператора проекции момента импульса на это направление, т.е. найдем решение уравнения

.

Это обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. Его решение можно найти обычным методом разделения переменных

.

Интегрируя последнее уравнение, получим

.

При изменении циклической переменной на мы возвращаемся в исходную точку пространства, поэтому в силу требования однозначности волновой функции должна быть выполнено равенство

,

или

.

Отсюда следует, что

, , ,...

Таким образом, получается, что проекция момента импульса на ось принимает дискретный ряд значений

и волновая функция принимает вид

Число называется магнитным квантовым числом. Так как ось не выделена в пространстве какими-либо физическими условиями, такой же результат получается и для двух других проекций и . При определенном значении проекции , две другие проекции не могут иметь определенных значений, т.е. в состоянии с определенным значением при измерении для них может получиться любое возможное значение.

Из условия нормировки волновых функций

следует

.

Дата добавления: 2014-11-29