Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Решение задач 8,9 контрольной работы 1




Булеан бесконечного множества. Выводы

 

Мы показали, что несчетные множества имеют мощность большую, чем счетные. А существуют ли множества наибольшей мощности? На этот вопрос отвечает теорема, на основании которой мы можем утверждать, что не существует множества наибольшей мощности: для каждого множества X мы можем построить его булеан, т.е. множество большей мощности. Это означает, что ряд мощностей (рис. 1.25) неограничен.

Теорема. Пусть X – бесконечное множество. Мощность булеана множества X больше мощности множества X.

Доказательство. Очевидно, что мощность булеана B (X) не меньше мощности множества X: булеан имеет подмножество одноэлементных множеств, равномощное множеству X. Остается показать, что .

Предположим противное: пусть . Это означает, что существует биекция , т.е. каждый элемент x множества X имеет единственный прообраз , а каждый элемент булеана имеет единственный прообраз во множестве X. Рассмотрим множество . Покажем, что множество хотя и принадлежит булеану , но не имеет прообраза во множестве X.

Действительно, пусть такой элемент существует, т.е. . Тогда возможны два варианта: а) , б) .

Случай а) невозможен, т.к. и выполняется , следовательно, . Аналогично невозможен и случай б): , значит, , но . Полученное противоречие показывает, что не существует элемента , являющегося прообразом множества .

Следовательно, предположение о равномощности множеств X и неверно и остается принять .

Итак, используя понятие “мощность”, мы сравниваем между собой не только конечные, но и бесконечные множества. Мощность – это то общее, что есть у всех равномощных множеств, а общим у них является класс эквивалентности. Мы говорим, что множество имеет мощность À0, и это означает, что оно принадлежит тому же классу эквивалентности, что и множество натуральных чисел; мы говорим, что множество имеет мощность континуума, и это означает, что оно принадлежит тому же классу, что и отрезок [0;1] (табл. 1.5). Другие классы бесконечных множеств используются реже, чем счетные и несчетные.

Таблица 1.5

Мощность множества

 

Множество Эталон Мощность
Конечное {1, 2, …,n} n
Счетное N À0
Несчетное [0;1] À

 

 

Задача 8. Даны множества и N}. Какова мощность множеств ?

Решение. Множество A конечно и задано перечислением своих элементов, множество B задано характеристическим свойством. Запишем несколько первых элементов множества . Видим, что Æ и , т.е. множество конечно.

Покажем, что множество счетно. Зану-меруем его элементы:

Задана биекция множества N на множество , следовательно, счетно и .

По определению декартова произведения . Запишем элементы этого множества в виде матрицы (рис. 1.27) и занумеруем их по столбцам.

 
 
A ¯ B ®        
-2 (-2,3)1 (-2,7)4 (-2.11)7 (-2,15)10
-1 (-1,3)2 (-1,7)5 (-1,11)8 (-1,15)11
  (0,3)3 (0,7)6 (0,11)9 (0,15)12

 

Рис. 1.27. Множество A ´ B

 

 


Замечаем, что если номер n делится на 3 без остатка, то первый элемент пары равен 0; если номер n делится на 3 с остатком 1, то первый элемент пары равен –2; если номер n делится на 3 с остатком 2, то первый элемент пары равен -1. Поэтому способ нумерации может быть задан следующим образом:

и множество счетно, т.е. имеет мощность À0.

 

Задача 9. Равномощны ли множества и ?

Решение. Покажем, что множества равномощны по теореме Кантора-Бернштейна, т.е. покажем, что найдется такое, что , и найдется такое, что .

Выберем в качестве множество и установим биекцию следующим образом:

Множества и Y равномощны.

Пусть . Установим биекцию по закону . Множества и X равномощны. По теореме Кантора-Бернштейна .




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-12-07; Просмотров: 502; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.011 сек.