КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Алгебраические критерии устойчивости
К алгебраическим критериям устойчивости относят те, которые позволяют судить об устойчивости системы по коэффициентам уравнения (5.2). необходимым условием устойчивости линейной системы (5.1) является положительность коэффициентов характеристического уравнения (5.2), т.е. . (5.3) Докажем этот критерий. Пусть уравнение (5.2) имеет n корней , тогда полином можно пo теореме Безу представить в виде . Если , то произведение n сомножителей всегда даст полином n -й степени с положительными коэффициентами, и с учетом получим (5.3). Критерий является лишь необходимым, т.е. если среди есть отрицательные коэффициенты, то система неустойчива; если все положительны, то система может быть как устойчивой, так и неустойчивой. В этом последнем случае требуется дальнейшее исследование. Рассмотрим критерий, дающий необходимые и достаточные условия устойчивости, предложенные немецким ученым А. Гурвицем в 1895 году. Предварительно из коэффициентов уравнения (5.2) сформируем матрицу Гурвица:
Алгоритм ее формирования следующий. Сначала по главной диагонали слева направо выписываем коэффициенты . Далее столбцы вверх от главной диагонали дополняются коэффициентами с возрастающими индексами, а вниз – с убывающими индексами. Коэффициенты с индексами больше Критepий Гуpвица. Необходимым и достаточным условием устойчивости линейной системы является при положительность всех определителей Гурвица:
. (5.5)
Для систем до 4-го порядка включительно, раскрывая определители Гурвица, можно получить необходимые и достаточные условия устойчивости: (5.6) (5.7) ; (5.8) (5.9) Из (5.6), (5.7) следует, что для системы первого и второго порядка необходимые условия совпадают с необходимыми и достаточными, а при n = 3 и 4 кроме необходимых условий следует соблюдать дополнительное неравенство. При n = 5 и 6 появляются два дополнительных неравенства, при n = 7 и 8 – три С помощью критерия Гурвица можно определить границы устойчивости. Если и все определители Гурвица , кроме последнего, больше нуля, то нарушение условий устойчивости будет при , откуда при получаем границу устойчивости апериодического типа (появляется один нулевой корень), а при границу устойчивости колебательного типа (появляются два комплексно-сопряженных корня). При этом все остальные корни являются левыми. Граница устойчивости, соответствующая бесконечному корню, будет . Одним из частных случаев критерия Гурвица является критерий Льенара–Шипара (1914), по которому для устойчивости системы необходимо и достаточно выполнение следующих неравенств: или ,
т.е. при соблюдении необходимых условий устойчивости требуется положительность четных или нечетных определителей Гурвица. Вторым распространенным алгебраическим критерием устойчивости, дающим необходимые и достаточные условия устойчивости, является критерий Рауса–Гурвица. Этот критерий более удобен при анализе устойчивости с помощью ПЭВМ. На первом этапе составляется таблица Рауса, элементы которой образуются из коэффициентов характеристического полинома замкнутой системы , в которой . Таблица Рауса: (5.10) Первые две строки состоят из коэффициентов . Коэффициенты последующих строк вычисляются так:
; ; … и т.д. Левый столбец записывается для наглядности. По критерию Рауса–Гурвица система устойчива, если при положительны все элементы первого столбца таблицы (, , , …). Число правых корней в случае неустойчивой САУ равно числу перемен знака элементов первого столбца. Если элемент какой-то строки первого столбца равен нулю, то САУ либо неустойчива, либо находится на границе устойчивости [6]. Пример 5.1. Рассмотрим замкнутую систему управления, у которой передаточная функция разомкнутой системы W (s) имеет порядок не выше второго () и определяется одним из перечисленных выражений:
, , , , .
Характеристическое уравнение замкнутой системы для соответствующей разомкнутой будет иметь следующий вид: , , , . Если параметры , то в соответствии с (5.6), (5.7) замкнутая система будет асимптотически устойчивой для всех передаточных функций, кроме . в этом случае замкнутая система будет находиться на границе устойчивости, так как характеристическое уравнение имеет чисто мнимые корни (коэффициент и условие (5.7) не выполняется). Пример 5.2. Пусть передаточная функция разомкнутой системы , а . Характеристическое уравнение замкнутой системы будет , из которого следует, что при ряд коэффициентов характеристического уравнения (при ), и (при ) и т.д. равен нулю. В этом случае не выполняется необходимое условие устойчивости (5.3) и система ни при таких значениях параметров K и не может быть асимптотически устойчивой. Такой класс систем называют стpуктуpно нeустойчивыми. Пример 5.3. Передаточная функция разомкнутой системы задана в Таким образом, при заданных и максимальное значение коэффициента усиления ограничено и увеличение приведет к потери устойчивости. Это свойство, как будет показано дальше, является весьма характерным для систем автоматического управления и в общем случае. Система будет находиться на границе устойчивости, если выполняется одно из соотношений: , , , .
Дата добавления: 2014-12-07; Просмотров: 771; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |