Колебательное движение 2 страница

Ответ: m = 2ּ(M – Q/g)

Тема 6. Обратная задача динамики

6.1. Сила F сообщает ускорение телу массой m ₁ ускорение а ₁ = 1,0 м/с², телу массой m ₂ ускорение а ₂ = 4,0 м/с². Какое ускорение а ₃ под действием той же силы получат оба тела, если их соединить вместе? а ₃ = …(м/с²).

Ответ: 0,8

6.2. Одинаковые грузы массой 100 г каждый прикреплены к нити, переброшенной через блок. На один из грузов действует вертикально вниз сила 24 мН (миллиньютон) (см. рис.). Какой путь s (см) пройдёт каждый из грузов за 3 с?

Ответ: 54

6.3. Тело весом массы m = 2 (кг) поместили на шероховатую наклонную плоскость с углом наклона α = 60^о (коэффициент трения скольжения f = 0,3; ускорение свободного падения g = 9,8 м/с²).

Ускорение (м/с²) тела при движении по наклонной плоскости равно…

Ответ: 7,0

6.4. Тело массой m = 18,4 кг падает по вертикали, сила сопротивления воздуха R = 0,05 ּv ² (Н). (Ускорение свободного падения в вакууме принять равным g = 9,8 м/с².) Определить максимальную скорость падения тела (м/с).

Ответ: 60

6.5. Материальная точка движется по окружности радиуса R = 25 м согласно уравнению s = 0,5ּ t ² (s – в метрах, t – в секундах). Известно, что через промежуток времени t = 5 сек. от начала движения модуль действующей на точку силы равен F = (Н). Определить массу этой точки. m = … (кг).

Ответ: 1

6.6. Материальная точка массы m = 1 кг движется относительно инерциальной системы отсчёта под действием двух постоянных сил: и (Н). Начальная скорость точки равна нулю. Определить пройденный путь за время 1 сек. то начала движения.

Ответ: 2ּ

6.7. Материальная точка массы m = 1 кг движется из состояния покоя под действием силы = (t ² - 3ּ t + 2)ּ вдоль оси О х (F – в ньютонах; t – в секундах). Определить модуль наименьшего ускорения точки; | а _min| =… (м/с²).

Ответ: 0,25

6.8. Груз массой m может скользить без трения по стержню, укреплённому перпендикулярно к оси ОА (см. рис.) центробежной машины. Груз соединяют с осью пружиной с коэффициентом жёсткости с. При какой угловой скорости ω пружина растянется на 50% первоначальной длины?

Ответ:

6.9. С какой наибольшей скоростью может двигаться автомобиль на повороте радиусом закругления R = 100 м, чтобы не «занесло», если коэффициент трения скольжения шин о дорогу k = 0,4? (Ускорение свободного падения в вакууме принять равным g = 10 м/с²; результат вычисления округлить до ближайшего целого числа.)

v = … (м/с).

Ответ: 20

6.10. Люстра массой m = 80 кг подвешена к потолку на металлической цепи, длина которой l = 5 м. Определить высоту h (м), на которую можно отклонить люстру, чтобы при последующих качаниях цепь не оборвалась? Известно, что разрыв цепи наступает при натяжении Т = 1960 Н (Ускорение свободного падения принять равным g = 9,8 м/с².)

h < … (м).

Ответ: 3,75

6.11. Найти период вращения маятника, совершающего круговые движения в горизонтальной плоскости. Длина нити l. Угол, образуемый нитью с вертикалью, α (см. рис.).

Отметьте правильный ответ. (g – ускорение свободного падения.)

Ответ:

6.12. На повороте дороги радиусом R = 75 м равномерно движется автомобиль. Центр тяжести находится на высоте h = 1 м, ширина следа автомобиля а = 1,5 м. Определить скорость v _кр, при которой автомобиль может опрокинуться. В поперечном направлении автомобиль не скользит. (Ускорение свободного падения в вакууме принять равным g = 9,8 м/с²; результат вычисления округлить до ближайшего целого числа.)

v _кр = … (м/с).

Ответ: 23

6.13. Внутри конической поверхности обращается шарик по окружности радиусом R (см. рис.). Угол при вершине конуса 2 α. (g – ускорение свободного падения.) Определить период обращения шарика по окружности.

Отметьте правильный ответ.

Ответ:

6.14. Человек сидит на краю круглой горизонтальной платформы радиусом R = 5 м. Сколько оборотов n в минуту должна делать платформа вокруг вертикальной оси, чтобы человек не смог удержаться на ней при коэффициенте трения f = 0,2? (Ускорение свободного падения в вакууме принять равным g = 9,8 м/с²; результат вычисления округлить до целого числа.) n = … (об/мин).

Ответ: 6

6.15. Два груза одновременно начинают движение из состояния покоя с высоты h над горизонтальной поверхностью пола, причём груз соскальзывает без трения по плоскости, составляющей угол α = 30^о с горизонтом, а второй свободно падает. Определить отношение времён t ₁/ t ₂ при достижении ими поверхности пола.

t ₁/ t ₂ = …

Ответ: 2

6.16. Космонавты, высадившиеся на поверхности Марса, измерили период обращения конического маятника, представляющего собой небольшое тело, прикреплённое к нити и движущееся по окружности в горизонтальной плоскости с постоянной скоростью (см. рис.). Период оказался равным Т = 3,03 сек. Длина нити l = 1 м. Угол создаваемый нитью с вертикалью, α = 30^о. Найдите по этим данным ускорение свободного падения на Марсе g (м/с²).

Ответ: 3,72

6.17. Какую начальную скорость v _о (м/с) имел снаряд, вылетевший из пушки под углом α = 30^о к горизонту, если он пролетел расстояние s =17 895 м? Известно, что сопротивление воздуха уменьшило дальность полёта в 4 раза.

(Ускорение свободного падения в вакууме принять равным g = 9,8 м/с²; результат вычисления округлить до целого числа.) Отметьте правильный ответ.

Ответ: 900

6.18. Матер. точка массы m = 1 кг движется вдоль горизонтальной оси Ox под действием силы F_x = v_x (H) с начальной скоростью v ₀ = 1 (м/с), направленной вдоль оси Ox, v_x = dx / dt. Приняв начальное положение матер. точки за начало отсчёта, найти координату x (м) точки в момент времени t = 1 с. (Результат вычисления округлить до второго знака после запятой включительно.)

Ответ: 1,72

6.19. Искусственный спутник Земли, обращающийся по круговой орбите, переводится на другую круговую орбиту, радиус которой в 2,56 раза больше радиуса исходной орбиты.

Во сколько раз уменьшается скорость движения спутника по орбите? v ₁/ v ₂ = …

Ответ: 1,6

6.20. Матер. точка массы m = 1 кг движется вдоль горизонтальной оси Ox под действием силы сопротивления, пропорциональной скорости v (F _сопр = kּv, k = 0,2 Нּсек/м). Какое расстояние s пройдёт матер. точка, прежде чем её скорость уменьшится в 2 раза? Начальная скорость точки равна v ₀ = 12 м/с. s = … (м).

Ответ: 30

6.21. Матер. точка массы m = 1 кг движется вдоль горизонтальной оси Ox под действием силы F_х = (1 – x) (Н). Начальная скорость v ₀ = 1 м/с. Начальное положение точки принять за начало отсчёта. Определить уравнение движения матер. точки.

Отметьте правильный ответ.

Ответ: x = sin (t) – cos (t) + 1

6.22. Матер. точка массы m = 1 кг движется вдоль горизонтальной оси Ox под действием силы сопротивления, пропорциональной скорости v (F _сопр = kּv, k = 0,05 Нּсек/м). За какое время t ₁ от начала движения скорость точки уменьшится в 2 раза? Начальная скорость точки равна v ₀ = 12 м/с. (Результат вычисления округлить до целого числа.) Отметьте правильный ответ.

Ответ: 14

-: 15

6.23. Матер. точка массы m = 1 кг с начальной скоростью v ₀ = 12 м/с движется вдоль горизонтальной оси Ox под действием силы сопротивления, пропорциональной скорости v (F _сопр = kּv, k = 0,2 Нּсек/м). Какое расстояние s пройдёт матер. точка до полной остановки? s = … (м).

Ответ: 60

6.24. Матер. точка массы m = 1 кг движется из начала координат вдоль горизонтальной оси Ох, имея начальную скорость v ₀ = 2 м/с и испытывая силу сопротивления движению, пропорциональную квадрату скорости: (Н), где k = 0,1 Нּс/м. Определить время от начала движения t ₁ (сек.), на которое скорость матер. точки уменьшится в два раза. t ₁ = … (сек).

Ответ: 5,0

6.25. Матер. точка массы m = 1 кг движется вдоль горизонтальной оси Ox под действием силы F_х = 3ּ (Н). Начальная скорость точки равна v ₀ = 1 м/с. Определить расстояние s (м), на которое переместится точка за время 2 сек. (Результат вычисления округлить до целого числа.)

Ответ: 47

6.26. Матер. точка массы m = 1 кг движется вдоль горизонтальной оси Ox под действием силы F_х = - 4ּ (Н). Начальная скорость точки равна v ₀ = 1 м/с. Начальное положение точки принять за начало отсчёта. Определить закон движения точки.

Ответ: x = t ּ e^{– 2ּt}

6.27. Матер. точка массы m = 1 кг движется вдоль горизонтальной оси Ox под действием силы F_х = – (Н). Начальная скорость точки равна нулю; начальное смещение х ₀ = 1 м. Определить закон движения точки.

Ответ: x = e ^{– 0,5ּt} [cos ]

6.28. Матер. точка массы m движется в горизонтальной плоскости Oxy под действием силы, пропорциональной смещению точки от центра О и направленной к этому центру , где - радиус-вектор точки, c - коэффициент пропорциональности. В начальный момент матер. точка находилась в точке М ₀ с координатами х = х ₀ и у = 0 и ей сообщили начальную скорость ₀, направленную параллельно оси Oy т.е. v _{0 x} = 0, v _{0 y} = v ₀. Найти уравнение траектории матер. точки.

Ответ: + ּ = 1

6.29. Матер. точка массы m движется в горизонтальной плоскости Oxy под действием силы отталкивания от неподвижного центра О, изменяющейся по закону пропорциональной смещению точки от центра О и направленной к этому центру = k ² ּmּ , где - радиус-вектор точки. В начальный момент точка находилась в М ₀ с координатами х = х ₀ и у = 0 и ей сообщили начальную скорость ₀, направленную параллельно оси Oy т.е. v _{0 x} = 0, v _{0 y} = v ₀. Найти уравнение траектории точки.

Ответ: – ּ = 1

6.30. Матер. точка массы m движется с начальной скоростью v ₀ = 1 м/с в среде с сопротивлением. Сила сопротивления пропорциональна кубичному корню скорости матер. точки и по величине равна kּ , k = 0,1 ּm – коэффициент сопротивления. Определить расстояние s, которое пройдёт матер. точка до остановки; s = … (м).

Ответ: 6

6.31. Матер. точка массы m движется с начальной скоростью v ₀ = 1 м/с в среде с сопротивлением. Сила сопротивления пропорциональна кубичному корню скорости матер. точки и по величине равна kּ , k = 0,1 ּm – коэффициент сопротивления. Определить время t ₁, за которое пройдёт матер. точка до остановки; t ₁ = … (сек.).

Ответ: 15

6.32. Два геометрически равных и однородных шара сделаны из различных материалов – 1) из железа и 2) керамики. Плотности материалов соответственно: железа ρ ₁ = 7,874ּ10³ кг/м³, керамики ρ ₂ = 1,960ּ10³ кг/м³. Оба шара падают в воздухе. Сопротивление среды пропорционально квадрату скорости (R = kּv ²). Определить отношение максимальных скоростей шаров. (Результат вычисления округлить до первого знака после запятой включительно.)

v _1max / v _2max = …

Ответ: 2,0

Тема 7. Общие теоремы динамики (теорема об изменении количества движения; теорема об изменении кинетической энергии; вычисление работы; Потенциальное силовое поле. Работа потенциальной силы).

7.1. Пружину с жёсткостью 140 Н/м сжали до длины 0,1 м и отпустили. Работа силы упругости при восстановлении пружины равно … Дж, если длина недеформированной пружины равна 0,2 м.

Ответ: 0,7

7.2. Материальная точка массой m = 0,5 кг брошена с поверхности Земли с начальной скоростью v ₀= 25 м/с и в положении М имеет скорость v = 15 м/с. Определить работу силы тяжести (Дж) при перемещении точки из положения М ₀ в положение М.

Ответ: – 100

7.3. Груз М весом Р = 20 Н, прикреплённый к невесомой нити длиной l = ОМ = 90 см, начинает двигаться из состояния покоя. Определить: 1) работу силы тяжести А (Р) на перемещении М₁М₂; 2) скорость v груза М, когда он займёт положение М₂. Принять g = 10 м/с².

1) = … (Дж), 2) = … (м/с).

Ответы: 9*3

7.4. Груз М весом Р подвешен на невесомой нерастяжимой нити длиной l. В начальный момент времени груз находился в положении М₁.

Определить: 1) работу силы тяжести А (Р) на перемещении груза М₁М₂; 2) какую минимальную скорость v ₁ необходимо сообщить грузу, чтобы он достиг положения М₂. (Начальный угол наклона стержня 30^о)

Ответы: – 0,5*1

7.5. Матер. точка массы m = 2 кг перемещается в вертикальной плоскости Оху. Определить работу А _ОМ (Дж) силы тяжести Р = mּg при перемещении матер. точки по дуге OM полуокружности радиуса R = 10 м (см. рис.). Ускорение свободного падения принять равным g = 9,8 м/с². Результат вычисления округлить до ближайшего целого числа. А _ОМ = … (Дж)

Ответ: – 392

7.6. Матер. точка массы m = 2 кг перемещается в вертикальной плоскости Оху. Определить работу А _ОМ (Дж) силы тяжести Р = mּg при перемещении матер. точки по дуге OM окружности радиуса R = 10 м (см. рис.). Ускорение свободного падения принять равным g = 9,8 м/с². Результат вычисления округлить до ближайшего целого числа. А _ОМ = … (Дж)

Ответ: – 196

7.7. Матер. точка массы m движется в горизонтальной плоскости Oxy под действием силы, пропорциональной смещению точки от точки от центра О и направленной к этому центру , где - радиус-вектор точки, c = 20 Н/см. Вычислить работу А ₁₂ силы при перемещении матер. точки из точки М ₁ в точку М ₂ (см. рис.); а = 8 см.

А ₁₂ = … (Дж).

Ответ: 6,4

7.8. Матер. точка массы m движется в горизонтальной плоскости Oxy под действием силы, пропорциональной смещению точки от точки от центра О и направленной к этому центру , где - радиус-вектор точки, c = 20 Н/см. Вычислить работу А ₁₂ силы при перемещении матер. точки из точки М ₁ в точку М ₂ (см. рис.); а = 10 см.

А ₁₂ = … (Дж).

Ответ: – 10

7.9. Матер. точка массы m движется в горизонтальной плоскости Oxy под действием силы притяжения = – / r ³ к силовому центру О, убывающей по величине обратно пропорционально квадрату расстояния от точки до силового центра О, | F |= k / r ², k = 200 (Н/м²). Вычислить работу А ₁₂ силы при перемещении матер. точки из точки М ₁ в точку М ₂ (см. рис.); M ₂ М ₁ = a = 30 м, ОМ ₂ = b = 40 м.

А ₁₂ = … (Дж).

Ответ: 1

7.10. Матер. точка массы m движется по окружности радиуса r в поле центральной силы. Сила притяжения, убывающая обратно пропорционально квадрату расстояния, по модулю равна F (r) = , где k = const. (Центр окружности совпадает с силовым центром.) Определить значение скорости v точки при следующих числовых данных параметров: k = 16 м³/сек² и r = 4 м. v = … (м/с).

Ответ: 2

7.11. Матер. точка массы m движется по окружности радиуса r в поле центральной силы притяжения. Сила притяжения по модулю равна F (r) = c ּ r, где c = const. (Центр окружности совпадает с силовым центром.) Определить значение скорости v точки при следующих числовых данных параметров: m = 0,25 (кг), c = 100 (Н/м) и r = 0,2 (м).

v = … (м/с).

Ответ: 4

7.12. Матер. точка массы m движется по окружности радиуса r под действием центральной силы притяжения , постоянной по модулю (| | = F = const), действующей в области 0,01 м < r < 2 м. (Центр окружности совпадает с силовым центром.) Определить значение скорости v (м/с) точки при следующих числовых данных параметров: F = 1 (Н), m = 0,25 (кг), r = 1 (м). v = … (м/с).

Ответ: 2.

7.13. Матер. точка массы m движется в горизонтальной плоскости Oxy под действием силы, пропорциональной смещению точки от точки от центра О и направленной к этому центру , где - радиус-вектор точки, c = 80 Н/см. Вычислить работу А ₁₂ силы при перемещении матер. точки из точки М в точку О (см. рис.); а = 9 см, b = 12 см. А _МО = … (Дж).

Ответ: 90

7.14. Матер. точка массы m движется в горизонтальной плоскости Oxy под действием силы, пропорциональной смещению точки от точки от центра О и направленной к этому центру , где - радиус-вектор точки, c = 80 Н/см. Вычислить работу А ₁₂ силы при перемещении матер. точки из точки О в точку М (см. рис.); а = 9 см, b = 12 см. А _ОМ = … (Дж).

Ответ: – 90

7.15. Матер. точка массы m движется в горизонтальной плоскости Oxy под действием силы, пропорциональной смещению точки от точки от центра О и направленной к этому центру , где - радиус-вектор точки, c = 80 Н/см. Вычислить работу А ₁₂ силы при перемещении матер. точки из точки М ₁ в точку М ₂ (см. рис.); ОМ₁ = b = 12 см, OM₂ = a = 9 см. (Числовой результат определить с точностью до первого знака после запятой включительно.) А ₁₂ = … (Дж).

Ответ: 25,2

7.16. Искусственный спутник Земли движется по круговой орбите на высоте от поверхности Земли h, равной половине радиуса Земли (h = 0,5ּ R). Первая космическая скорость равна v _косм1 = 7910 (м/с). Определить скорость v (м/с) спутника на обозначенной орбите. v = … (м/с).

Ответ: 6459

7.17. На рис. изображена штанга, которая может вращаться вокруг горизонтальной оси шарнира О. Плечи штанги l ₁ = 30 см и l ₂ = 70 см. На концах штанги закреплены точечные грузы с массами m ₁ = 8 кг и m ₂ = 4 кг. Штанга совершает поворот вокруг оси О в вертикальной плоскости на угол 90^о по часовой стрелке.

Вычислить работу силы тяжести при этом повороте. Массой штанги пренебречь. Ускорение свободного падения принять равным g = 9,8 м/с².

А = … (Дж). (Результат вычисления округлить до первого знака после запятой включительно.)

Ответ: 3,9

7.18. На рис. изображена штанга, которая может вращаться вокруг горизонтальной оси шарнира О. Плечи штанги l ₁ = 40 см и l ₂ = 70 см. На концах штанги закреплены точечные грузы с массами m ₁ = 7 кг и m ₂ = 4 кг. Штанга совершает поворот вокруг оси О в вертикальной плоскости на угол 90^о против часовой стрелке.

Вычислить работу силы тяжести при этом повороте. Массой штанги пренебречь. Ускорение свободного падения принять равным g = 9,8 м/с². А = … (Дж).

Ответ: 0

7.19. Груз массой m прикреплён к правому концу пружины, левый конец которой закреплён в стене. В начальном положении пружина не была деформирована. Ось x направлена вдоль оси пружины, причём начало отсчёта находится в правом конце не деформированной пружины.

Дата добавления: 2014-12-07