Розв’язання типового варіанта. Розв’язуючи систему, знаходимо

Ряди

Розв’язуючи систему, знаходимо

Підставляючи,, в дане рівняння, маємо

Відповідне однорідне рівняння

має характеристичне рівняння , корені якого дійсні і рівні, тобто . Загальний розв’язок цього рівняння

.

Частинний розв’язок неоднорідного рівняння шукаємо у вигляді

.

Послідовно диференціюючи , знаходимо та :

; .

або .

Прирівнюючи коефіцієнти при і правої і лівої частин рівняння, отримаємо систему двох рівнянь відносно шуканих коефіцієнтів А і В.

Маємо:

; .

Отже, .

Звідси загальний розв’язок даного рівняння

.

Щоб знайти частинний розв’язок, що задовольняє початковим умовам, попередньо знаходимо похідну

.

За умовою ; , тоді

, звідки ;

, звідки .

Підставляючи отримані значення довільних сталих і в загальний розв’язок, маємо

- шуканий частинний розв’язок. ◄

Завдання 23. В задачах варіантів 1-25 дослідити на збіжність числові ряди.

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. . 9. .

10. . 11. . 12. .

13. . 14. . 15. .

16. . 17. . 18. .

19. . 20. . 21. .

22. . 23. . 24. .

25. .

Завдання 24. В задачах варіантів 1-25 дослідити на збіжність знакопереміжні ряди

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. . 9. .

10. . 11. . 12. .

13. . 14. . 15. .

16. . 17. . 18. .

19. . 20. . 21. .

22. . 23. . 24. .

25. .

З авдання 25.

В задачах варіантів 1 - 25 знайти інтервал збіжності степеневого ряду, при цьому з`ясувати питання про його збіжність на кінцях інтервалу.

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

.7. . 8. . 9. .

10. . 11. . 12. .

13. . 14. . 15. .

16. . 17. . 18. .

19. . 20. . 21. .

22. . 23. . 24. .

25. .

Завдання 26.

В задачах варіантів 1-25 обчислити визначний інтеграл з точністю до 0,001 шляхом попереднього розкладання підінтегральної функції у степеневий ряд.

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. . 9. .

10. . 11. . 12. .

13. . 14. . 15. .

16. . 17. . 18. .

19. . 20. . 21. .

22. . 23. . 24. .

25. .

Завдання 27.

В задачах варіантів 1-25 обчислити наближене значення заданої величини з точністю до 0,0001, використовуючи відомі розклади відповідних функцій в ряд Маклорена.

1. . 2. . 3. . 4. .

5. . 6. . 7. . 8. .

9. . 10. . 11. . 12. .

13. . 14. . 15. . 16. .

17. . 18. . 19. . 20. .

21. . 22. . 23. . 24. .

25. .

1. Знайти область збіжності степеневого ряду

► Даний степеневий ряд можна записати так:

(11.20)

Застосуємо ознаку Даламбера:

.

Як видно, ряд буде збігатись для тих значень х, для яких

<1, або .

Дослідимо збіжність ряду на кінцях інтервалу.

При x = , маємо числовий ряд:

. (11.21)

Ряд (11.21) є знакопереміжним. У силу ознаки Лейбніца даний ряд збігається, бо

1) > > > >… 2) .

При x = маємо числовий ряд

.... (11.22)

Ряд (11.22) розбігається (для цього достатньо порівняти його з гармонічним рядом .

Отже, значення x = не належить області збіжності даного ряду.

Таким чином, - область збіжності досліджуваного ряду.

2. Обчислити визначений інтеграл з точністю до 0,001.

► Обчислимо даний інтеграл наближено за допомогою рядів. Відомо, що

.

Дата добавления: 2014-11-29