Координаты центра окружности можно вычислить, решив, например, линейную засечку с пунктов A и B на точку C . 1 страница

Измерение расстояния S между исходным пунктом A и определяемой точкой P

Окружность с центром в пункте Aи радиусом R = S (рис.26) называется линией положения точки P; уравнение этой окружности имеет вид

;

здесь X и Y – координаты любой точки окружности, в том числе и точки P.

Из одного уравнения (2) определить сразу два неизвестных X и Y невозможно, следовательно, одного измерения расстояния S недостаточно для определения двух координат точки P.

3. Измерение горизонтального угла β с вершиной в определяемой точке P между направлениями на два исходных пункта (рис.27).

Уравнение окружности, проходящей через три точки A, B и P, имеет вид

. (3.1)

В этом уравнении R – радиус окружности, вычисляемый по формуле

.

Рисунок 27 – Третье элементарное измерение

Если подставить в уравнение (3.1) значения X_C, Y_C и R, то получится сложное уравнение второй степени относительно неизвестных X и Y. Из одного уравнения два неизвестных найти невозможно, следовательно, измерения одного угла β на определяемой точке недостаточно для определения двух координат этой точки.

Для однозначного определения двух координат точки P нужно выполнить измерение двух элементов. Количество комбинаций из трёх по два равно шести; комбинации двух элементарных измерений для определения координат одной точки называются геодезическими засечками.

1. Измеряются один угол и одно расстояние; оба измерения выполняются на пункте A, – полярная засечка;

2. Измеряются два угла; один угол измеряется на пункте A, другой - на пункте B, - прямая угловая засечка;

3. Измеряются два расстояния; одно расстояние - от пункта A до пункта P, другое – от пункта B до пункта P, - линейная засечка;

4. Измеряются два угла; оба измерения выполняются на точке P; один угол − между направлениями на исходные пункты A и B, другой – между направлениями на исходные пункты B и D, - обратная угловая засечка.

Пятая и шестая комбинации названий не имеют и для определения координат точки P не применяются.

3.2.3. Полярная засечка

В полярной засечке исходными данными являются координаты пункта А и дирекционный угол направления АВ (если дирекционный угол не задан, нужно решить обратную геодезическую задачу между пунктами А и В и вычислить его); измеряемыми данными являются горизонтальный угол (средняя квадратическая ошибка измерения угла ) и расстояние (относительная ошибка измерения расстояния ); определяемые данные – координаты точки P.

Графическое решение.

Сначала на чертеже (плане) нужно построить систему координат и нанести точки Α и Β по их известным координатам; затем нужно соединить точки Α и Β прямой линией, от линии ΑΒ отложить по часовой стрелке угол β и провести линию положения точки P. Зафиксировать на циркуле расстояние S в масштабе чертежа (плана) и провести небольшую дугу радиусом S; точка пересечения линии и дуги является искомой точкой P (рис.28).

Рисунок 28 – Схема полярной засечки

Вычислим дирекционный угол направления АP и запишем два уравнения, соответствующие двум элементарным измерениям: уравнение прямой линии, проходящей через точку А в заданном направлении АP, и уравнение окружности радисом с центром в точке А

Алгоритм решения полярной засечки в кратком виде:

- вычислить дирекционный угол линии AP ;

- вычислить приращения координат: ; ;

- вычислить координаты точки P: ; ;

- вычислить ошибку положения точки P: ; ρ=206265”.

Пример решения полярной засечки приведён в таблице 4.

Таблица 4 - Решение полярной засечки

№ п/п	Обозначения	Вычисления
	αΑΒ β	304^0 07’ 08” 34 12 30
6’	αΑP αΑP (десятичная форма)	338 19 38 338. 327 222
	Sin αΑP Cos αΑP S (м)	− 0. 369 305 + 0. 929 308 1 000.00
	XA (м)	6 642 000.00 + 929.31
	XP YP	6 642 929.31 7 374 630.70
	YA (м)	− 369.30 7 375 000.00
	MP (м)	0.17

3.2.4. Прямая и обратная геодезические задачи

В геодезии есть две стандартные задачи: прямая геодезичеcкая задача на плоскости и обратная геодезическая задача на плоскости.

Прямая геодезическая задача - это вычисление координат , второго пункта, если известны координаты , первого пункта, дирекционный угол и длина линии, соединяющей эти пункты.

Прямая геодезическая задача является частью полярной засечки, и формулы для ее решения берутся из набора формул для решения полярной засечки

,

.

Обратная геодезическая задача - это вычисление дирекционного угла и длины линии, соединяющей два пункта с известными координатами и (рис.29).

Рисунок 29 – Схема обратной геодезической задачи

Построим на отрезке 1-2 как на гипотенузе прямоугольный треугольник с катетами, параллельными осям координат. В этом треугольнике гипотенуза равна ; катеты равны приращениям координат точек 1 и 2 ( ), а один из острых углов равен румбу линии 1-2.

Если и , то треугольник решается по известным формулам

;

и .

Для данного рисунка направление линии 1-2 находится во второй четверти, поэтому

.

Общий порядок нахождения дирекционного угла линии 1-2 включает две операции:

- определение номера четверти по знакам приращений координат ;

- вычисление дирекционного угла по формулам связи дирекционного угла и румба в соответствии с номером четверти.

Контролем правильности вычислений является выполнение равенства

.

Если , то ,

при ;

при .

Если , то ,

при ;

при .

Для решения обратной задачи в автоматическом режиме (в программах для ЭВМ) используется другой алгоритм, не содержащий тангенса угла и исключающий возможное деление на ноль при :

,

,

если , то ;

если , то .

Таблица 5 – Решение обратной геодезической задачи (1-й алгоритм)

№ п/п	Обозначения	Вычисления
	XB (м) XA XB – XA	6 642 841.24 6 642 000.00 + 841.24
	b = (5) / (11) Cos α	1 499.78 + 0. 560 910
8’	tg r r (десятичная форма) r (IY четверть) α = 360^0 – r	1. 475 952 55. 881 229 55^0 52’ 52” 304^0 07’ 08”
	Sin α b = (6) / (10)	− 0. 827 877 1 499.78
	YB (м) YA YB − YA	7 373 758.37 7 375 000.00 − 1 241.63
	(XB – XA)^2 (YB − YA)^2 b^2 = (14) + (15) b = √ (16)	707 684.7 1 541 645.0 2 249 329.7 1 499.78

Таблица 6 – Решение обратной геодезической задачи (2-й алгоритм)

№ п/п	Обозначения	Вычисления
	XB (м) XA XB – XA	6 642 841.24 6 642 000.00 + 841.24
12’	Cos a’ = (5) / (10) a’ (десятичная форма) a’ α = 360^0 – a’	+ 0. 560 909 55. 881 316 55^0 52’ 53” 304^0 07’ 07”
	YB (м) YA YB − YA	7 373 758.37 7 375 000.00 − 1 241.63
	(XB – XA)^2 (YB − YA)^2 b^2 = (14) + (15) b = √ (16)	707 684.7 1 541 645.0 2 249 329.7 1 499.78

3.2.5. Прямая угловая засечка

Сначала рассмотрим так называемый общий случай прямой угловой засечки, когда углы и измеряются на двух пунктах с извест­ными координатами, каждый от своего направления с известным дирекционным углом (рис.30).

Исходные данные: ;

Измеряемые элементы: ;

Неизвестные элементы: точки .

Если или не заданы явно, нужно решить обратную геодезическую задачу сначала между пунктами A и C и затем между пунктами B и D.

Графическое решение. От направления AC отложить с помощью транспортира угол и провести прямую линию AP; от направления BD отложить угол и провести прямую линию BP; точка пересече­ния этих прямых является искомой точкой P.

Рисунок 30 – Общий случай прямой угловой засечки Рисунок 31 – Частный случай ПУЗ

Аналитическое решение. Приведем алгоритм, соответ­ствующий общему случаю засечки:

1) вычислить дирекционные углы линий AP () и BP ()

; ;

2) написать два уравнения прямых линий

для линии АР ,

для линии ВР ;

3) решить систему двух уравнений и вычислить неизвестные коор­динаты

,

.

Частным случаем прямой угловой засечки считают тот случай, когда углы и измерены от направлений AB и B A, причем угол - правый, а угол - левый (в общем случае засечки оба угла - левые) - рис.31.

Решение прямой угловой засечки методом треугольника соответ­ствует частному случаю засечки. Порядок решения прямой угловой засечки методом треугольника:

1) решить обратную задачу между пунктами A и B и получить дирекционный угол и длину линии AB,

2) вычислить угол при вершине P ;

3) используя теорему синусов для треугольника APB

,

вычислить длины сторон AP ()и BP ();

4) вычислить дирекционные углы и

, ;

5) решить прямую задачу от пункта A к точке P и для контроля - от пункта B к точке P; оба решения должны совпасть.

Для вычисления координат в частном случае прямой угловой засечки можно использовать формулы Юнга

,

.

От общего случая прямой угловой засечки нетрудно перейти к частному случаю; для этого нужно сначала решить обратную геоде­зическую задачу между пунктами A и B и получить дирекционный угол линии A B и затем вычислить углы в треугольнике APB при вершинах A и B

и .

Для машинного счета все рассмотренные способы решения прямой угловой засечки по разным причинам неудобны. Один из возможных алгоритмов решения общего случая засечки на ЭВМ предусматривает следующие действия:

1) вычисление дирекционных углов и ,

P

2) введение местной системы координат с началом в пункте A и с осью , направленной вдоль линии AР, пересчет координат пунктов A и B и дирекционных углов и из системы в систему (рис.32)

; ; ; ;

;

.

Рисунок 32 – Прямая угловая засечка в системе координат

3) запись уравнений линий AP и BP в системе

,

;

и совместное решение этих уравнений

,

; (3.2)

4) перевод координат и из системы в систему

,

.

Так как и угол засечки всегда больше , то решение (3.2) всегда существует.

3.2.6. Линейная засечка

В линейной засечке исходными данными являются координаты пунктов А и В; измеряемыми данными являются расстояния и (относительная ошибка измерения расстояний ); определяемые данные – координаты точки P.

Рисунок 33 – Линейная засечка

Графическое решение.

Сначала на чертеже (плане) нужно построить систему координат и нанести точки Α и Β по их известным координатам; затем нужно провести две окружности с центрами в точках Α и Β, первую окружность – радиусом и вторую – радиусом ; одна из точек пересечения этих окружностей и является искомой точкой Р; другая точка P’ является является вторым (альтернативным) вариантом решением засечки (рис.33)

Аналитическое решение линейной засечки может быть выполнено по двум алгоритмам: первый из них предусматривает решение системы уравнений двух измеренных расстояний

,

.

У этой системы уравнений нет простого решения в системе координат , поэтому приходится применять систему координат с началом в точке А и осью , направленной от точки А вдоль линии АВ. В новой системе координаты точек А и В будут равны

Расстояние , равное длине линии АВ, находится из решения обратной геодезической задачи между точками А и В; при этом вычисляется также дирекционный угол линии АВ.

Уравнения двух окружностей в новой системе координат будут иметь вид

;

.

Совместное решение этих двух уравнений предусматривает раскрытие скобок во втором уравнении и вычитание второго уравнения из первого

,

откуда

,

и

.

Если искомая точка находится слева от линии АВ, то в формуле для нужно брать знак “минус”, если справа, то – знак “плюс”.

Пересчёт координат точки из системы в систему выполняется по формулам

,

.

Описанный алгоритм удобен для составления программы при решении линейной засечке на ЭВМ.

Алгоритм “ручного счёта” предусматривает решение треугольника АВР по формулам планиметрии:

- в треугольнике ABР по теореме косинусов вычислить углы β₁ и β₂

,

;

- вычислить угол γ этого же треугольника ;

- вычислить дирекционные углы сторон AР и BР:

точка Р справа от линии AB

,

;

точка Р слева от линии AB

,

Дата добавления: 2014-12-07