Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Комплексные числа




Комплексными называются числа вида z = x+iy, где x и y – действительные числа, а i =. Числа x и y называются соответственно действительной и мнимой частями комплексного числа z. Они обозначаются x = Re z, y = Im z. Комплексные числа в системе MATLAB записываются в следующем виде:

3+2i;7 – 4j; -3.8952+1.23e-5i; 5+i*7.

По умолчанию они имеют тип double. Для записи комплексного числа требуется в два раза больше памяти, чем для записи вещественного числа, так как по 8 байт памяти отводится для Re z и Im z. При вводе комплексных чисел мнимая единица i или j может быть записана до или после мнимой части. При записи мнимой единицы перед Im z между ними ставится знак умножения <*>. При записи мнимой единицы после Im z ставить знак умножения необязательно. Например, следующие записи эквивалентны:

1+i*2 ~ 1+j*2 ~ 1+2*i ~ 1+2*j ~ 1+2i ~ 1+2j.

Если коэффициентом при мнимой единице является не число, а переменная, нельзя писать просто x+yi, а необходимо использовать знак умножения, т. е. x+y*i.

Если в командную строку ввести i, получим:

>> i

ans =

0 + 1.0000i

Тот же результат получим при вводе символа j:

>> j

ans =

0 + 1.0000i

Кроме того, комплексное число можно представить в другом формате:

>> format long

>> 4-9j

ans =

4.00000000000000 - 9.00000000000000i

При выводе мнимая единица всегда обозначается символом i и выводится после мнимой части.

Число = x - iy называется к омплексно - сопряженным числу z = x+iy. Два комплексных числа считаются равными, если равны отдельно их действительные и мнимые части. Алгебраические действия над комплексными числами выполняются по формулам:

z1 ± z2 = (x1+iy1) ± (x2+iy2) = (x1 ± x2)+i(y1 ± y2);

z1 z2 = (x1+iy1)(x2+iy2) = (x1x2 - y1y2)+i(x1y2 +x2y1);

=.

Примеры:

>> 1+2i+3-4j

ans =

4.0000 - 2.0000i

>> (1+2i)*(3-4j)

ans =

11.0000 + 2.0000i

>> (1+2i)/(3-4j)

ans =

-0.2000 + 0.4000i

>> z=(3+2i)^3

z =

-9.0000 +46.0000i

Встроенные функции real и imag выделяют вещественную и мнимую части комплексного значения:

>> real(z)

ans =

-9

>> imag(z)

ans =

Встроенная функция complex формирует комплексное число по паре вещественных:

>> z=complex(3,-4)

z =

3.0000 - 4.0000i

Функция conj возвращает комплексно - сопряженное число:

>> conj(z)

ans =

3.0000 + 4.0000i

Такой же результат получим, поставив апостроф после комплексного значения:

>> z=1+2*i'

z =

1.0000 - 2.0000i

>> z'

ans =

1.0000 + 2.0000i

Возникающий в процессе вычислений с вещественными переменными комплексный результат не является ошибкой. Вычислить, оставаясь в рамках только вещественных чисел, нельзя. MATLAB автоматически перейдет к комплексным вычислениям и в итоге возвратит результат равный i:

>> sqrt(-1)

ans =

0 + 1.0000i

В математике используют и другие формы представления комплексных чисел:

z = x+iy = ρe= ρ(cos φ+isin φ).

Здесь ρ =z= – модуль комплексного числа, а φ = arg z – фаза, или главное значение его аргумента (величина угла измеряется в радианах, π<φ≤ π), причем tg φ =.

Значения этих параметров можно определить с помощью встроенных функций ρ = abs(z) и φ = arg z = angle(z).

Основные элементарные функции комплексного переменного:

показательная функция eiz;

тригонометрические функции

cos z =, sin z =;

гиперболические функции

ch z =, sh z =;

главное значение логарифма

ln z = lnz+iarg z;

главные значения обобщенных показательной и степенной функций

az = ezlna и zα = eαlnz,

где z, α, a – любые комплексные числа, a ≠ 0.

Примеры:

>> exp(1+i)

ans =

1.4687 + 2.2874i

>> sin(1+j)

ans =

1.2985 + 0.6350i

>> i^i

ans =

0.2079

>> isreal(i^i)

ans =

>> (2+i)^(1-3i)

ans =

-3.3307 - 8.3459i

>> log(-1)

ans =

0 + 3.1416i




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-12-07; Просмотров: 647; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.015 сек.