Класифікація математичних моделей

На теперішній час моделювання є загальнонауковим методом дослідження різних об'єктів у багатьох галузях науки і техніки, що визначило багатобічність математичних моделей, методів їх побудови та дослідження.

В ряді робіт була здійснена спроба класифікувати математичні моделі, але до теперішнього часу загально прийнятої класифікації немає.

Математичні моделі систем або об`єктів можна розділити на три рівня: мікрорівень, макрорівень і метарівень.

На мікрорівні складають математичні моделі функціонування базових елементів (машин та апаратів). Математичними моделями об`єктів даного рівня як правило є системи диференційних рівнянь. Внутрішніми параметрами тут можуть бути напруження в матеріалі, питомий тиск, геометричні розміри, концентрація, коефіцієнти теплопровідності і т. д.

На макрорівні використовуються моделі з зосередженими параметрами. Елементами моделей на макрорівні є об`єкти, які на мікрорівні розглядались як системи. Тут вихідні параметри мікрорівня стають внутрішніми параметрами. Математичними моделями систем макрорівня можуть служити системи звичайних диференційних рівнянь, а іноді алгебраїчних і трансцендентних рівнянь.

На метарівні, який іноді називають інформаційним рівнем функціонування системи, зміна стану елементів розглядається як послідовність подій, що відбуваються в дискретні проміжки часу. Дискретне представлення простору і часу обумовлює дискретність фазових змінних, які характеризують стан елементів. Роль елементів і внутрішніх параметрів виконують системи і вихідні параметри моделей макрорівня. Для побудови математичних моделей метарівня використовуються математична логіка, теорія масового обслуговування, методи теорії автоматичного управління.

Розділення математичних моделей на моделі мікро-, макро- і метарівня є умовним, на практиці ці рівні можуть поділятись ще на підрівні. На кожному рівні розрізняють математичні моделі елементів і систем. Математичні моделі систем, які отримані безпосереднім об`єднанням математичних моделей елементів в загальну систему рівнянь, іноді називають повними математичними моделями. Розглянуте вище розділення моделей пов`язане з ієрархією рівнів проектування об`єктів.

В подальшому розглядають математичні моделі, що можна розділити на групи.

До першої групи відносяться математичні моделі, параметри котрих змінюються з часом та в просторі. З врахуванням просторових ознак моделі поділяються на моделі з розподіленими параметрами та на моделі з зосередженими параметрами. Коли основні змінні досліджуваного об'єкта змінюються як за часом так і в просторі, то математичні моделі в такому випадку називаються моделями з розподіленими параметрами та представляються, як правило, диференціальними рівняннями в частинних похідних.

Коли основні змінні процесу не змінюються в просторі, а змінюються лише за часом, то математичні моделі називаються моделями з зосередженими параметрами та пропонуються в вигляді звичайних диференціальних рівнянь.

До другої групи відносяться математичні моделі, що описують невстановлений та встановлений режими роботи модельованих об'єктів, дозволяють розрізняти статичні та динамічні моделі. Статичні моделі описують співвідношення між основними змінними процесу в встановлених режимах, тут в математичному описі відсутній такий параметр як час і воно має вигляд алгебраїчних рівнянь. Динамічні моделі описують зв'язок між основними змінними процесу за часом в перехідних режимах. Математичні моделі динаміки будуються за допомогою диференціальних рівнянь.

До третьої групи відносяться математичні моделі, які характеризують природу процесів, що є в досліджуваному об'єкті. Вирізняються моделі детерміновані та стохастичні (випадкові). Якщо досліджувані процеси характеризуються завданням вектора X, то моделі таких процесів називаються детермінованими. Детерміновані моделі виражають в вигляді диференціальних та інтегральних рівнянь.

Якщо досліджувані процеси за своєю природою випадкові (а в природі всі процеси випадкові), то моделі таких процесів називаються ймовірними. Тут використовують математичний апарат теорії ймовірностей.

До четвертої групи можна віднести математичні моделі, що характеризуються способом їх отримання - формальні та неформальні (теоретичні) математичні моделі.

Теоретичні моделі отримують на основі вивчення фізичних і хімічних закономірностей. Тут структура рівнянь і параметри моделей мають певне тлумачення. Формальні моделі отримують на основі розгляду об`єкта як “чорного ящика”. Теоретичні моделі більш універсальні і справедливі для широкого діапазону зміни зовнішніх параметрів. Формальні моделі порівняно з теоретичними більш точні в тих межах, в яких проводились вимірювання, але за цими межами їх точність зменшується.

В формальних математичних моделях структура моделі задається з деяких міркувань, не зв'язаних з суттю фізико-хімічних явищ, що протікають в досліджуваному об'єкті. В цьому випадку модель легко будується, але не дозволяє описувати об'єкт на широкому інтервалі Х,У такяк не враховує фізико-хімічні особливості об'єкта. Такі математичні моделі в основному використовуються для оптимізації діючих об'єктів при встановленому режимі його роботи.

Структура неформальних математичних моделей виводиться на основі вивчення фізико-хімічних процесів в об'єкті. Неформальні моделі характеризують поведінку Y та Х в широкому діапазоні їх зміни, несуть інформацію про гідродинаміку, фазових станів та конструктивних параметрах об'єкта. Неформальні моделі знаходять широке застосування для оптимального конструювання об'єктів, моделювання та оптимізації процесів. В той самий час такі моделі мають низьку точність, бо важко оцінити всі процеси, що йдуть в об'єкті, складністю структури математичної моделі.

До п'ятої групи відносяться математичні моделі, що відрізняються методом отримання - математичні моделі, отримані експериментальним шляхом, та математичні моделі, отримані аналітичним шляхом.

Експериментальний метод побудови математичних моделей дозволяє побудувати порівнянне швидко нескладну модель, так як структура моделі вибирається довільно, експеримент можна провести на діючій установці, легко визначити параметр а.

Подібна математична модель дійсна тільки для того об'єкта, на якому проводився експеримент, параметр а не має фізичного змісту. Такий метод використовується, як правило, для побудови формальних математичних моделей.

Аналітичний метод побудови математичних моделей використовується при побудові неформальних моделей. Цей метод важкий, але найбільш перспективний, бо дозволяє розповсюдити результати дослідження на одній моделі на інші однотипні об'єкти, всі коефіцієнти в моделі мають фізичне підґрунтя.

В залежності від характеру властивостей об`єкта моделі можна розділити на функціональні і структурні. Функціональні моделі відображають процеси функціонування об`єкта. Ці моделі часто складаються у вигляді системи рівнянь. Структурні моделі можуть мати форму матриць, графів, списків векторів і виражати взаємне розташування елементів у просторі, наявність безпосередніх зв`язків між елементами у вигляді каналів, транспортерів, провідників, трубопроводів і т. п. Структурні моделі використовуються в тих випадках, коли задачі структурного синтезу рішають, абстрагуючись від особливостей фізичних процесів в об`єкті.

За формою зв`язків між вихідними, внутрішніми і зовнішніми параметрами моделі можна розділити на моделі у вигляді систем рівнянь - алгоритмічні моделі, і моделі у вигляді явних залежностей вихідних параметрів від внутрішніх і зовнішніх - аналітичні моделі (рис.1.3.)

Динамічні моделі враховують інерційність процесів об`єкта, а статичні моделі її не враховують.

Рис 1.3. Структурна схема математичної моделі.

Можна було б продовжити класифікацію математичних моделей за іншими властивостями об'єктів та процесів, що в них протікають, яка була б більш повною, але зміст використаних моделей дозволяє обмежитись перерахованим вище.

Дата добавления: 2014-12-07