Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Понятие о дифференциальном уравнении и его решении




Краткие теоретические сведения

Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение

= 0,(1)

связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее производные вплоть до n -го порядка.

Решением дифференциального уравнения (1) называется такая функция y = , которая при подстановке ее в это уравнение обращает его в тождество.

Общим решением дифференциального уравнения (1) называется такое его решение

y =

которое является функцией переменной х и п произвольных постоянных C 1, C 2, …, Cn.

Частным решением дифференциального уравнения (1) называется такое его решение, которое получается из общего при некоторых конкретных числовых значениях постоянных C 1, C 2, …, Cn. Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется его интегрированием.

Построенный на плоскости Oxy график решения y = дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения.

К рассмотрению дифференциальных уравнений приводят многие задачи экономики. Например, неоклассическая задача экономического роста приводит к дифференциальному уравнению первого порядка. Непрерывные модели экономики с применением дифференциальных уравнений (независимой переменной является время) достаточно эффективны при исследовании эволюции экономических систем на длительных интервалах времени. Они являются предметом исследования экономической динамики.

 

Задача Коши и ее решение

Пусть дано дифференциальное уравнение

. (2)

Задача Коши для данного дифференциального уравнения состоит в следующем: среди всего множества частных решений, которые получаются из общего решения y = при конкретных значениях произвольной постоянной C, следует найти такое частное решение
y = , которое удовлетворяет начальному условию y (x 0) = y 0.

Геометрически задача Коши состоит в выборе среди всего множества интегральных кривых такой кривой, которая проходит через точку M 0(x 0, y 0) (рис. 20).

 

Рис. 20
 

Теорема (существования и единственности решения задачи Коши). Если в дифференциальном уравнении (2) функция f (x, y) и
ее частная производная непрерывны в некоторой области,
содержащей точку
(x 0, y 0), то решение дифференциального уравне-
ния
(2) при начальном условии y (x 0) = y 0 существует и оно единственно.

Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными и его решение

Так называется дифференциальное уравнение вида

+ = 0.

Делением обеих частей этого уравнения на , получаем дифференциальное уравнение с разделенными переменными

.

 

Почленное интегрирование этого уравнения приводит к равенству

которое в неявной форме определяет решение исходного уравнения.

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-12-08; Просмотров: 817; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.012 сек.