Авиационного артиллерийского оружия. Уравнение движения основного звена автоматики

Уравнение движения основного звена автоматики

Рассмотрим методику составления уравнение движения механизмов оружия на примере простейшего двухзвенного механизма, изображенного на рисунке 3.1. По такой схеме выполняются, например, подающие и запирающие механизмы в ряде пушек.

Горизонтально скользящий ползун примем в качестве основного звена и соответственно присвоим ему номер ноль. Поперечно перемещающийся движок обозначим номером один. Для определенности пусть основное звено будет ведущим звеном механизма. Это означает, что при движении механизма энергия передается от ползуна к движку. При движении ползуна вправо шип движка прижат к нижней стенке фигурного паза и, следовательно, поверхностью трения между звеньями является участок, показанный на рисунке 3.1 жирной линией. Поверхности трения звеньев о направляющие (нижняя для ползуна, правая для движка) также показаны жирными линиями. Возможные перекосы звеньев в направляющих при инженерных расчетах обычно не учитывают.

Масса основного звена – m; масса звена 1 – m₁. На основное звено действует внешняя сила F по направлению его движения, на звено 1 – внешняя сила F₁ по направлению движения этого звена.

Со стороны движка на ползун будут действовать направленная по нормали к точке соприкосновения звеньев реакция R₁₀ и вызываемая ею сила трения fR₁₀, направленная по касательной (f – коэффициент трения). Соответственно к движку со стороны ползуна будет приложена реакция R₀₁ и сила трения fR₀₁. Кроме того, к ползуну и к движку соответственно будут приложены реакции направляющих R, R₁ и вызываемые ими силы трения fR, fR₁. Направление сил изображено на рисунке 3.2.

Напишем дифференциальное уравнение движения для каждого из рассматриваемых звеньев, считая, что оси координат x и x₁ направлены в сторону движения соответствующих звеньев:

, (3.6)

. (3.7)

Реакции корпуса R и R₁ найдем из уравнений статики, спроектировав для каждого из звеньев все силы на ось, перпендикулярную к направлению движения, и приравняв сумму проекций нулю

, (3.8)

. (3.9)

Подставляя (3.8) и (3.9) в уравнения (3.6) и (3.7), получим

Введем обозначения:

, (3.10)

(3.11)

и запишем уравнение движения в виде

, (3.12)

. (3.13)

По физическому смыслу силы Q и Q₁ являются внутренними силами, действующими на основное звено со стороны первого и на первое – со стороны основного соответственно.

Для связи внутренних сил Q и Q₁ между собой в теории автоматического оружия вводится понятие – коэффициента передачи энергии (к.п.э.). Коэффициентом передачи энергии от основного звена к первому называют отношение элементарной работы Q₁ dx₁ к элементарной работе Qdx.

. (3.14)

В случае, когда основное звено является ведущим, произведение Q₁dx₁ представляет собой энергию, получаемую первым звеном от ведущего на элементарном перемещении dx₁, а Qdx – энергию, потерянную ведущим звеном за счет сопротивления ведомого звена на элементарном перемещении dx. Тогда за счет потерь на трение при передаче энергии Q₁ dx₁<Qdx и, следовательно, .

Если ведущим звеном станет первое, формула (3.14), определяющая к.п.э., не изменится. Он по-прежнему останется равным отношению энергии, отданной первым звеном, к энергии, полученной основным звеном. Однако, поскольку в этом случае Q₁ dx₁>Qdx, то числовое значение к.п.э. изменится за счет изменения направления сил трения. То есть, когда основное звено становится ведомым, к.п.э. будет больше единицы.

Понятие – коэффициента передачи энергии – является более широким, чем понятие – коэффициента полезного действия (к.п.д.), применяемое в теории механизмов и машин. Понятия к.п.э. и к.п.д. совпадают в частном случае, когда основное звено является ведущим. Методика определения к.п.э. будет рассмотрена позднее после получения дифференциального уравнения.

Поскольку отношение элементарных перемещений звеньев есть передаточное число, выражение (3.14) можно переписать в виде

. (3.15)

Используя выражение (3.15), связывающее между собой внутренние силы Q и Q₁, для исключения этих сил из уравнений движения (3.12) и (3.13). Заменяя силу Q в уравнении (3.12) ее выражением через Q₁ из (3.15), запишем

.

Подставляя сюда Q₁ из уравнения (3.13), получим

. (3.16)

С учетом кинематической зависимости , вытекающей из формулы (3.5), уравнение (3.16) примет вид

. (3.17)

Выражение (3.17) является искомым дифференциальным уравнением движения простейшего двухзвенного механизма.

Из уравнения следует, что влияние первого звена на движение основного звена проявляется следующим образом:

1. Масса основного звена увеличивается на величину , называемую приведенной массой первого звена;

2. Увеличивается внешняя сила, действующая на основное звено, на величину , называемую приведенной силой первого звена;

3. Появляется дополнительная инерционная сила , возникающая из-за переменности передаточного числа.

Полученное уравнение справедливо для любого двухзвенного механизма независимо от того, какое из звеньев является ведущим. В общем случае роль ведущего звена может в процессе движения перейти от одного звена к другому. При этом изменится величина входящего в уравнение к.п.э., но вид уравнения сохранится.

Коэффициент передачи энергии характеризует способность механизма передавать энергию от одного звена к другому. Он зависит от конструкции механизма, от того, какое звено является ведущим, от положения механизма, т.е. от перемещения основного звена, а также от коэффициента трения между звеньями и звеньев о направляющие. Величина к.п.э. изменяется при изменении поверхностей трения в механизме. В тоже время к.п.э. не зависит от величины внешних сил, действующих на звенья, если не изменяются поверхности трения и роль ведущего не переходит от одного звена к другому. Это объясняется тем, что внутренние силы (реакции звеньев) линейно зависят от внешних сил. В этом случае работа внутренних сил будет изменяться линейно в зависимости от внешних сил, а отношение работ внутренних сил, выражаемое зависимостью (3.14), остается постоянным.

Найдем к.п.э. для рассматриваемого механизма. Для чего подставим в (3.15) выражения (3.10) и (3.11), определяющие силы Q и Q₁, и учтем при этом, что силы R₁₀ и R₀₁ по модулю равны.

Получим

. (3.18)

Из рисунка 3.1 непосредственно следует, что передаточное число . Подставляя это выражение в (3.18) и выполнив тригонометрические преобразования, получим

. (3.19)

В теории механизмов и машин часто оперируют понятием угол трения , величина которого определяется соотношением .

Для рассматриваемого механизма выражение через угол запишется в виде

,

в чем можно убедиться, если выполнить несложные тригонометрические преобразования в формуле (3.19).

Отношением Q₁/Q можно воспользоваться для нахождения передаточного числа. При отсутствии трения к.п.э. обращается в единицу и, следовательно, на основании (3.15) можно написать

.

Отсюда передаточное число .

В данной задаче соответственно получим .

Аналогичным образом можно получить выражение и для любого другого механизма. Как видно из рассмотренного примера, для этого необходимо найти отношение внутренних сил Q₁ и Q, действующих на звенья механизма. Это можно сделать с помощью уравнений статики, описывающих состояние равновесия при известных поверхностях трения.

Суть методики получения и заключается в следующем:

1. Приложим к основному звену механизма с заданными поверхностями трения силу (или момент) P в направлении его движения, а к первому звену в направлении, обратном его движению, - силу (или момент) P₁, уравновешивающую механизм. Из условия равновесия механизма следует, что внешняя сила P уравновешивается внутренней силой Q, а внутренняя сила Q₁ уравновешивается внешней силой P₁. Следовательно,

. (3.20)

. (3.21)

2. Составим уравнения равновесия каждого звена, заменив связи их реакциями.

3. Исключим из полученных уравнений статического равновесия реакции и, пользуясь соотношением (3.15), с учетом равенств (3.20) и (3.21), получим выражение для

. (3.22)

4. Положив в этом выражении f=0 и , найдем

.

5. Подставляя полученное значение в (3.22), найдем окончательно выражение для .

Указанные операции могут быть выполнены не только аналитически, но и графически. В книге [11] приведены формулы, определяющие i и для ряда типовых механизмов автоматического оружия.

Методика получения дифференциального уравнения движения многозвенного механизма аналогична методике получения этого уравнения для двухзвенного механизма. Не приводя всех выкладок, по аналогии с (3.17), можно написать уравнение движения произвольного механизма, содержащего основное звено и n присоединенных к нему звеньев

. (3.23)

В этом уравнении коэффициенты при называют приведенной массой всего механизма, а сумму сил, стоящих в правой части, – приведенной силой механизма.

Заметим, что и являются обобщенными массами и обобщенными силами, т.е. этими символами обозначают массы или моменты инерции и соответственно силы или моменты сил. Умножение этих величин на соответствующие множители, содержащие передаточное число, которое для звеньев с различными видами перемещений (поступательное или вращательное) имеет размерность, обеспечивает приведение их к размерности этих величин для основного звена.

В сложных многозвенных механизмах непосредственное определение передаточных чисел и к.п.э. от -того звена к основному в ряде случаев представляет значительные трудности. Этого можно избежать, если воспользоваться соотношениями между этими величинами для звеньев, расположенных в определенной последовательности, через передаточные числа и к.п.э. между промежуточными звеньями. Так, например, передаточное число и к.п.э. от основного звена к -тому звену в механизме, состоящем из основного звена и трех последовательно присоединенных к нему звеньев q,p и , можно представить в виде произведений .

Уравнение (3.23) представляет собой нелинейное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами. Коэффициенты уравнения являются функциями перемещения основного звена, а стоящие в правой части силы в общем случае могут зависеть от времени (сила давления пороховых газов), перемещения основного звена (усилия пружин) и скорости основного звена (сила сопротивления патронной ленты).

Уравнение в общем случае может быть проинтегрировано только численным методом. Лишь в частных случаях возможно аналитическое решение уравнения. Например, в случае, когда к.п.э. и передаточные числа постоянны, а на детали оружия действуют только усилия пружин. Интегрирование уравнения движения усложняется тем, что по мере движения основного звена происходит подключение к нему одних звеньев и отключение других. Подключение звеньев происходит с ударом и вызывает разрывное изменение скорости основного звена. Отключение вызывает разрывное изменение коэффициентов уравнения. Вследствие этого интегрирование приходится вести по участкам. Границами участков будут точки разрывов скорости или коэффициентов.

В процессе интегрирования необходимо следить за изменением динамических реакций между звеньями. Перемена знака реакции при удерживающих связях влечет за собой изменение поверхности трения и необходимость нового определения к.п.э. Более подробно методика, интегрирования дифференциального уравнения движения механизмов оружия и способы, учета влияния перемещения корпуса оружия на движение механизмов рассматриваются в специальной литературе [8], [11].

Дата добавления: 2014-12-27