Решение однородного уравнения

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение1.

Функция f(x,y) называется однородной функцией n-го измерения относительно переменных х и у, если при любом справедливо равенство

.

Пример. Функция - однородная функция первого измерения, так как .

Определение2.

Уравнение первого порядка называется однородным относительно х и у, если функция f(x,y) есть однородная функция нулевого измерения относительно х и у.

По условию . Положив в этом тождестве , получим:

, (1)

т.е. однородная функция нулевого измерения зависит только от отношения аргументов.

Уравнение (1) в этом случае примет вид

. (2)

Сделаем подстановку:

, т.е. y=ux.

Тогда будем иметь:

.

Подставляя это выражение производной в уравнение (2), получим:

.

Это – уравнение с разделяющимися переменными:

,

после разделения переменных:

,

Интегрируя, найдем:

.

Подставляя после интегрирования вместо u отношение у/х, получим интеграл уравнения (2).

Пример1.

Найти общий интеграл дифференциального уравнения

.

Решение.

Разрешим уравнение относительно производной:

.

Поделив числитель и знаменатель правой части уравнения на , получим:

. (*)

Таким образом, есть функция отношения , т.е. однородная функция нулевого измерения. Мы пришли к однородному уравнению.

Введем теперь новую функцию . Тогда у=ux и . Уравнение (*) преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными:

, или, после преобразования:

разделим переменные:

.

Интегрируя это уравнение, получим:

, или ,

откуда, подставляя u=х/у, получим общий интеграл исходного уравнения:

или после преобразования: .

Получить у как явную функцию от х, записанную с помощью элементарных функций, в данном случае невозможно. Поэтому общее решение оставляем в виде функции, заданной неявно.

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение.

Линейным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной. Оно имеет вид

(1)

где Р(х) и Q(х) – заданные непрерывные функции от х (или постоянные).

Дата добавления: 2014-12-27