КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Вариационный ряд и порядковые статистики
Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем значение интересующего нас признака х1 наблюдалось n1 раз, х2 – n2 раз, …, хк – nк раз и = n – объем выборки. Определение: Наблюдаемые значения xi называют вариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке, – вариационным рядом. Числа наблюдений ni называют частотами, а их отношение к объему выборки wi – относительными частотами. = wi Определение: Статистическим распределением выборки называют перечень вариант и соответствующих им частот. Пример: Дано статистическоераспределение частот выборки обьема n = 20:
Написать распределение относительных частот. Решение: Найдем относительные частоты: w1 = = 0,15; w2 = = = 0,5; w3 = = 0,35. Получаем искомое статистическое распределение относительных частот:
Варианты могут быть записаны в виде точечных значений или в виде интервалов (частичных интервалов) непрерывных значений. В первом случае вариационный ряд называется дискретным (точечным), во втором – интервальным. Для частичного интервала выбирают длину h, определяемую условиями задачи или рассчитывают по формуле: При этом значение признака, находящегося на границе частичных интервалов обычно относят к правой границе частичного интервала. На практике считается, что правильно составленный вариационный ряд содержит от 6 до 15 частичных интервалов. Часто интервальный вариационный ряд заменяют дискретным вариационным рядом, выбирая средние значения (середины) интервалов. Статистическое распределение выборки можно задать не только с помощью таблицы, но и аналитически – с помощью эмпирической функции распределения.
Определение: Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцию F*(х), определяющую для каждого значения х относительную частоту события X < x: F*(х) = , где nx – число вариант, меньших х, а n – объём выборки. Заметим, что функцию распределения F(х) генеральной совокупности называют теоретической функцией распределения. F(х) определяет вероятность, т.е. P(X<x), а F*(х) – относительную частоту этого же события. F*(х) обладает всеми свойствами F(x). Пример: Построить эмпирическую функцию распределения по данному распределению выборки:
Решение. Объём выборки n = 12+18+30 = 60. Наименьшая варианта равна 2, следовательно F*(х) = 0 при x ≤ 2. Значение X < 6, а именно х1 = 2, наблюдалось 12 раз, следовательно, F*(х) = = 0,2 при 2 < X ≤ 6. Значения X < 10, а именно х1 = 2 и х2 = 6 наблюдались 12+18= 30 раз, следовательно, F*(х) = = 0,5 при 6 < x ≤ 10. Т. к. х = 10 – наибольшая варианта, то F*(х) = 1 при х > 10. F*(х)= 0 при x 0,2 при 2 < х ≤ 6 0,5 при 6 < x ≤ 10 1 при x > 10. Построим график этой функции. Он имеет ступенчатый вид:
F(x)
0,5 0,2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x
Статистическое распределение выборки можно задать и графически – с помощью полигона или гистограммы. Определение: Полигоном частот называют ломанную, отрезки которой соединяют точки (х1; n1 ), (x2; n2),..., (xk; nk). Определение: Полигоном относительных частот называют ломанную, отрезки которой соединяют точки (х1; w1), (x2; w2), …, (xk; wk). W w3 w4 w2 w1
x1x2 x3 x4 X В случае непрерывного признака целесообразно строить гистограмму, для чего интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на несколько частичных интервалов длинной h и находят для каждого частичного интервала частоту ni – сумму частот вариант, попавших в данный i -ый интервал. Определение: Гистограммой частот называется ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению (плотность частоты).
Заметим, что площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т.е. объему выборки. h = = n Пример: Статистическое распределение задано с помощью интервального вариационного ряда, частичные интервалы которого имеют длину h = 5.
Построим гистограмму частот: 7,2
3,2
0,8 0 5 10 15 20 25 30 35 40 Х Определение: Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длинною h, а высоты равны отношению wi / h (плотность относительной частоты). Заметим, что площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, т.е. единице. h = = 1 Определение: Модой называют варианту, которая имеет наибольшую частоту. Пример:
Очевидно, =7. Определение: Медианой называют варианту, которая делит вариационный ряд на две части, равные по числу вариант. Если число вариант нечетно, т.е. n = 2k+1, то = . Если число вариант четно, т.е. n=2k, то = . Пример: Для вариационного ряда 2, 3, 5, 6, 7 ; Для вариационного ряда 2, 3, 5, 6, 7, 9 = 5,5. Определение: Размахом варьирования R называют разность между наибольшей и наименьшей вариантами: R = Пример: Для ряда 1, 3, 4, 5, 6, 10 размах равен R = 10-1 = 9. Размах является простейшей характеристикой рассеяния вариационного ряда. Определение: Любую функцию случайной выборки называют статистикой.
Дата добавления: 2014-12-27; Просмотров: 1823; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |