Общая, факторная и остаточная дисперсии

Суммами.

Связь между общей, факторной и остаточной

Выведем важную формулу:

.

Для упрощения вывода ограничимся двумя уровнями (p=2) и двумя испытаниями на каждом уровне (q=2). Результаты испытаний (измерений) представим в виде таблицы:

Номер испытания	Уровни фактора
i	F1	F2

Тогда имеем:

.

Вычтем и прибавим к каждому наблюдаемому значению на первом уровне групповую среднюю , а на втором .

Выполнив возведение в квадрат, и, учитывая, что сумма всех удвоенных произведений равна нулю, получаем:

,

где и т.д.

Тогда, имеем:

.

Что и требовалось доказать.

Следствие: .

Разделив суммы квадратов отклонений на соответствующее число степеней свободы, получим общую, факторную и остаточную дисперсии:

, , ,

где p – число уровней фактора,

q – число наблюдений на каждом уровне,

(pq – 1) – число степеней свободы общей дисперсии,

(p – 1) – число степеней свободы факторной дисперсии,

p (q –1) – число степеней свободы остаточной дисперсии.

Факторная дисперсия зависит от p составляющих и является смещенной оценкой.

Формула для несмещенной оценки факторной дисперсии:

Остаточная дисперсия зависит от т.е. от pq составляющих, следовательно, для несмещенной остаточной дисперсии получаем формулу:

Здесь число степеней свободы по сравнению с pq уменьшено на p, т.к. в каждой группе за счет групповой средней число степеней свободы уменьшается на единицу.

Если нулевая гипотеза о равенстве средних справедлива, то все эти дисперсии являются несмещенными оценками генеральной дисперсии.

Например, учитывая, что объем выборки , заключаем, что исправленная выборочная дисперсия (которая, как известно, является несмещенной оценкой генеральной дисперсии) равна:

Заметим, что число степеней свободы остаточной дисперсии равно разности между числами степеней свободы и факторной дисперсией.

Действительно: .

Дата добавления: 2014-12-27