Статистическая вероятность

Классическое определение вероятности.

Пусть в результате испытания появляются элементарные исходы (события): ω₁, ω₂, ω₃, …, ω_m, ω_m+1, …, ω_n, которые образуют полную группу попарно несовместных равновозможных событий.

Определение: Элементарные исходы, в которых интересующее нас событие наступает, назовём благоприятствующими этому событию.

Пусть интересующее нас событие A наблюдается, если наступает один из элементарных исходов: ω₁, ω₂, …, ω_m.

Определение: Вероятностью события A называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу:

где m – число элементарных исходов, благоприятствующих событию A;

n – число всех возможных элементарных исходов испытания.

Пример: В урне имеется шесть одинаковых шаров: два из них – красные, три – синие и один – белый. Наудачу извлекаем шар.

Найти вероятность того, что он не белый.

Решение: Возможно шесть элементарных исходов:

ω₁ – появился белый шар,

ω₂, ω₃ – появился красный шар,

ω₄, ω₅, ω₆ – появился синий шар.

Вычисляем вероятность извлечения не белого шара:

т.к. m = 5, n = 6.

Из определения вероятности вытекают следующие её свойства:

Свойство 1: Вероятность достоверного события равна единице.

Доказательство: Событие достоверно, следовательно, каждый элементарный исход испытания благоприятствует событию:

Свойство 2: Вероятность невозможного события равна нулю.

Доказательство: Событие невозможно, следовательно, ни один элементарный исход не является благоприятствующим событию:

P ()

Свойство 3: Вероятность случайного события есть положительное число, заключённое между нулём и единицей.

Доказательство: Случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных исходов испытания. Следовательно, 0 < m < n, тогда:

Вывод: Вероятность любого события удовлетворяет неравенству:

Заметим, что классическое определение вероятности имеет свои недостатки. Например, оно предполагает, что число элементарных исходов конечно. На практике часто встречаются испытания, число возможных исходов которых бесконечно. Отсюда вытекает ограниченность классического определения. Другой недостаток классического определения вероятности: часто бывает невозможно представить результат испытания в виде совокупности элементарных событий. Ещё труднее указать основания, позволяющие считать элементарные события равновозможными. Требуется введение других определений вероятности.

Прежде чем дать определение статистической вероятности, дадим определение относительной частоты.

Определение: Относительной частотой события называется отношение числа испытаний m, в которых событие появилось, к общему числу фактически проведенных испытаний n:

Заметим, что вероятность вычисляют до опыта, а относительную частоту – после опыта.

Пример: ОТК (отдел технического контроля) обнаружил 3 нестандартных детали в партии из 80 случайно отобранных деталей.

В этом случае относительная частота появления нестандартных деталей равна:

Свойство устойчивости относительной частоты: В различных опытах относительная частота изменяется мало (тем меньше, чем больше произведено испытаний), колеблясь около некоторого постоянного числа.

Оказалось, что это постоянное число – вероятность появления события:

W(A) ≈ P(A).

Пример: По данным шведской статистики, относительная частота рождения девочек за 1935 год по месяцам (начиная с января) характеризуется следующими числами:

0,486; 0,489; 0,490; 0,471; 0,478; 0,482; 0,462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473.

Тогда W(A) ≈ 0,481 ≈ P(A) – приближённое значение вероятности рождения девочки.

Определение: Вероятностью события A называется число, относительно которого стабилизируется (устанавливается) относительная частота W(A) при неограниченном увеличении числа опытов.

Очевидно, что все свойства вероятности, вытекающие из классического определения, сохраняются и при статистическом определении вероятности.

Дата добавления: 2014-12-27