Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ




 

Понятие множества

Теория множеств является одной из сравнительно молодых математических дисциплин. Основоположником ее по праву считается немецкий математик Георг Кантор (1845 - 1918). В основе теории лежит понятие множества. Согласно Г. Кантору «Множество есть многое, мыслимое нами как единое».

Таким образом, множество рассматривалось им как собрание каких-либо предметов реального мира, обладающих общим свойством. Другими словами, множество – это совокупность предметов, рассматриваемая как один предмет.

Например, студенты одной группы – множество, элементы которого - студенты, общее свойство – обучение одной специальности.

Сказанное не является определением понятия множества, а всего лишь поясняет его. Множество – это основное неопределяемое понятие в математике и поэтому не определяется через другие. Его можно пояснить на примерах: группа детей, учащиеся класса, набор инструментов и др. Эти слова имеют тот же смысл, что и слово «множество».

В разговорной речи термин «множество» всегда связывается с большим количеством предметов. В теории множеств это не обязательно. Здесь рассматривают и бесконечное множество и множество, состоящее из одного объекта, и множество, не содержащее ни одного объекта – пустое множество.

В математике множества принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита: A, B, C, D …; пустое множество – символом Æ.

Объекты, из которых образовано множество, называют его элементами. Элементы принято обозначать строчными буквами латинского алфавита: a, b, c, d, … .

Отношение между элементами и множеством выражают словами «является элементом» или «принадлежит». Предложение «Элемент а принадлежит множеству А» обозначается следующим образом а Î А. Если же а не является элементом множества А, то пишут а ÏА.

По количеству элементов множества бывают пустые (не имеют ни одного элемента), конечные (число элементов можно выразить конкретным натуральным числом), бесконечные (число элементов нельзя выразить конкретным натуральным числом). Например, множество дней недели – конечное множество, множество звезд на небе – бесконечное.

В математике также выделяют универсальное множество. Универсальным называется множество, подмножество которого рассматривается в данной задаче. Обозначается универсальное множество буквой U.

Например, если в задаче рассматриваются прямоугольники, параллелограммы, квадраты, ромбы, трапеции, то в качестве универсального выступает множество четырехугольников (так как все перечисленные фигуры является четырехугольниками).

Если элементами множества являются числа, то такие множества называют числовыми. Эти множества обозначаются следующим образом: N – множество натуральных чисел, N0 - множество целых неотрицательных чисел, Z - множество целых чисел, Q - множество рациональных чисел, R - множество действительных чисел. Перечисленные числовые множества являются бесконечными. В качестве универсального множества здесь выступает R - множество действительных чисел.



Математика в большей мере имеет дело с бесконечными множествами (числа, точки, фигуры и др.), но основные математические идеи и логические структуры могут быть смоделированы на конечных множествах.

Естественно, что в математической подготовке периода детства обычно используются конечные множества. Элементами таких множеств могут быть самые разнообразные предметы любой природы, как конкретные (игрушки, растения, животные, предметы обихода и т.п.), или изображения таких объектов.

Способы задания множеств

Множество можно считать заданным, если о любом объекте можно сказать, принадлежит он этому множеству или нет.

Множество можно задать, перечислив все его элементы в произвольном порядке. Так, если a, b, c, d – обозначения различных объектов, то множество A этих объектов записывают как A = {a; b; c; d}.

Указанный способ применим только для конечных множеств, да и то при условии, что число элементов невелико.

Примеры:

А – множество чисел, являющихся делителями числа 20: А = {1, 2, 4, 5, 10, 20}.

В – множество частей речи в русском языке: В = {имя существительное, имя прилагательное, глагол, …}.

Когда задать множество перечислением его элементов трудно или невозможно (в случае бесконечных множеств), то применяют другой способ задания множеств, через указание характеристического свойства его элементов.

Характеристическое свойство элементов множества – это такое свойство, которым обладает каждый элемент, принадлежащий данному множеству, и не обладает ни один элемент, ему не принадлежащий.

Множество элементов, обладающих характеристическим свойством Р, обозначается так: {x | P(x)} и читается: множество всех х таких, что х обладает свойством Р (х).

Например, множество M натуральных чисел, меньших 6, запишется так:

М = { х | х Î N, х < 6 }.

Таким образом, для того, чтобы задать некоторое множество, надо либо перечислить его элементы, либо указать характеристическое свойство его элементов. Часто одно и то же множество может быть задано и тем и другом способом.

Например:

А = {x | x Î R, x2 – 4 = 0} - это конечное множество и его можно задать перечислением элементов: А = {2; -2}.

В = {x | x Î R, 2 < x < 5} – бесконечное множество, а именно, числовой промежуток (2, 5).

С = {x | x Î R, x2 + 9 = 0} – это пустое множество С = {Æ}, т.к. ни одно действительное число не удовлетворяет данному уравнению.

Чтобы наглядно изображать множества используют специальные чертежи, называемые диаграммами Эйлера-Венна. Для этого множества, сколько бы они не содержали элементов, представляют в виде кругов или овалов. Точки внутри круга считаются элементами множества. Точки за кругом не принадлежат данному множеству. Универсальное множество чаще всего изображают с помощью прямоугольника.

у     U
 
 

 

 


На рисунке показано, что x Î А, а у Ï А.

В ДОУ можно в качестве универсального множества используются блоки Дьенеша (логические блоки). В комплект входит 48 блоков. Каждый блок обладает 4 свойствами: имеет определенную форму, цвет, размер и толщину. Имеется 4 формы (круг, квадрат, треугольник и прямоугольник), 3 цвета (красный, синий, желтый). 2 размера (большой и маленький) и 2 толщины (тонкий и толстый). Может применяться также плоский вариант: 24 фигуры разной формы, цвета и размера, толщина у всех фигур одинаковая. Данные блоки применяются при выполнении различных заданий. Например, «Покажите все красные фигуры», «Выберите желтые треугольники» и т.п.

Задания, связанные с понятиями «множество» и «элементы множества», пронизывают весь процесс обучения периода детства. Так, например, при выполнении задания «Назовите все числа от 1 до 5» дети встречаются с двумя способами задания одной и той же совокупности чисел. Один способ – указано характеристическое свойство «Числа от 1 до 5», другой – числа этой совокупности перечисляются: 1, 2, 3, 4, 5. Смысл упражнения – перейти от одного способа задания множества к другому.

Аналогичные задачи встречаются и на других предметах: «Перечислите всех домашних животных, изображенных на картинке», «Назовите все цвета радуги» и т.д.

 

 

Отношения между множествами

Пусть даны два произвольных множества А и В. Элемент, принадлежащий одновременно множеству А и множеству В, называют общим элементом этих множеств.

Рассмотрим следующие ситуации:

Ø Если множества А и В не имеют общих элементов, то их называют непересекающимися и обозначают А ∩ В = Æ. В этом случае говорят, что множества А и В находятся в отношении непересечения.

Например, А – множество треугольников, В – множество квадратов.

На диаграмме Эйлера-Венна непересекающиеся множества изображают следующим образом:

 


Ø Если множества А и В имеют общие элементы, то возможны следующие 4 случая отношений между ними.

1. Не все элементы множества А принадлежат множеству В, и не все элементы множества В принадлежат множеству А. В этом случае говорят, что множества А и В находятся в отношении пересечения, а сами множества А и В называются пересекающимися.

Например, А – множество однозначных чисел, В – множество четных чисел.

На диаграмме Эйлера-Венна пересекающиеся множества изображают следующим образом:

 

2. Все элементы множества А принадлежат множеству В, но множество В содержит элементы не принадлежащие множеству А. В этом случае говорят, что множества А и В находятся в отношении включения и множество А включается в множество В.

Например, А – множество квадратов, В – множество прямоугольников.

На диаграмме Эйлера-Венна эти множества изображают следующим образом:

 

Если каждый элемент множества А принадлежит множеству В, то А называют подмножеством множества В.

Обозначается это следующим образом: А Ì В (А принадлежит В, А включено в В, А содержится в В, А подмножество В и т.д.).

Свойства отношения включения:

1. Рефлексивность: любое множество является подмножеством самого себя, т. е. для всякого множества А: А Ì А.

2. Транзитивность: для любых множеств А, В, С, если А Ì В и В Ì С, то А Ì С.

3. Пустое множество является подмножеством любого множества, т.е. для всякого множества А: Æ Ì А.

Само множество А и пустое множество Æ называют несобственными подмножествами множества А. Все остальные подмножества множества А называются собственными.

3. Все элементы множества В принадлежат множеству А, но множество А содержит элементы не принадлежащие множеству В. В этом случае говорят, что множество В включается в множество А.

   
На диаграмме Эйлера-Венна эти множества изображают следующим образом:

 

4. Если все элементы множества А принадлежат множеству В, и все элементы множества В принадлежат множеству А, то в этом случает говорят, что множества А и В находятся в отношении равенства, а сами множества А и В называются равными.

Два множества А и В называются равными, если А Ì В и В Ì А, или другими словами, два множества А и В равны, если они состоят из одних и тех же элементов.

Например, А – множество квадратов, В – множество прямоугольников с равными сторонами.

Равенство множеств А и В обозначают символом А = В и читают «А равно В».

На диаграмме Эйлера-Венна эти множества изображают следующим образом:

 

 

Свойства отношения равенства:

1. Рефлексивность: любое множество равно самому себе, т. е. для всякого множества А: А = А.

2. Симметричность: для любых множеств А и В если А = В, то и В = А.

3. Транзитивность: для любых множеств А, В, С, если А = В и В = С, то А = С.

Изобразим в виде блок-схемы алгоритм определения отношений между множествами А и В (рис. 1).

Устанавливать отношения между множествами – важное умение для педагога. Дело в том, что математика и другие науки изучают не только определенные объекты и явления, но и взаимосвязи, в том числе и отношения между множествами.

В процессе обучения дети могут встретиться с такими заданиями: «Выбери среди данных фигур квадраты», «Назови среди данных чисел четные» и др. В этих заданиях детям приходится выделять часть некоторой совокупности, то есть они находят подмножества данных множеств с помощью некоторого свойства.


 
 

 

 


Рис. 1. Блок-схем алгоритма определения отношений между множествами А и В

         
   
 
   
 
 


В ДОУ выделение подмножества может быть смоделировано с помощью игры с одним обручем. Например, на полу располагается один обруч. У каждого ребенка в руке один блок (из набора блоков Дьенеша). Дети по очереди располагают блоки в соответствии с заданием воспитателя, например, внутри обруча – все красные, а вне обруча – все остальные. После решения задачи дети отвечают на вопросы: «Какие блоки лежат внутри обруча?», «Какие блоки лежат вне обруча?». При ответе на второй вопрос необходимо, чтобы дети использовали термин «не красные».

 

Операции над множествами

Из элементов двух и более множеств можно образовать новые множества. Считают, что эти новые множества являются результатом операций над множествами.

1. Объединением множеств А и В называется множество, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат множеству А или В.

Обозначается с помощью символа АÈВ.

Определение объединения можно записать в таком виде: АÈВ = {x | xÎ A или хÎ В}.

На диаграмме Эйлера – Венна изображается следующим образом:

 

 

 

Во втором случае, так как А Ì В, то АÈВ = В.

Рассмотрим следующий пример:

Пусть даны множества: А = {2, 5, 7, 9}и В = {3, 5, 8, 9, 12}.

Тогда объединение множеств А и В будет равно:

АÈВ = {2, 5, 7, 9}È{3, 5, 8, 9, 12}= {2, 5, 7, 9, 3, 8, 12}.

2. Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из тех и только из тех элементов, которые принадлежат множеству А и множеству В одновременно.

Обозначается с помощью символа А Ç В.

Определение пересечения можно записать в таком виде:

А Ç В = {x | x Î A и х Î В}.

На диаграмме Эйлера – Венна изображается следующим образом:

 

 


 

Во втором случае, так как А Ì В, то АÇ В = А. В третьем случае, так как множества А и В непересекающиеся, то соответственно у них нет общих элементов и их пересечение равно пустому множеству.

Рассмотрим пример: Пусть даны те же самые множества А = {2, 5, 7, 9} и В = {3, 5, 8, 9, 12}. Тогда пересечение множеств А и В будет равно:

А Ç В = {2, 5, 7, 9}Ç{3, 5, 8, 9, 12}= {5, 9}.

На диаграмме это выглядит следующим образом:

 
 

 

 


Свойства объединения и персечения множеств

Из определений объединения и пересечения множеств вытекают свойства этих операций, представленные в виде равенств, справедливых для любых множеств А,В и С.

1. А È В = В È А – коммутативность объединения.

2. А Ç В = В Ç А– коммутативность пересечения.

3. А È (В È С) = (А È В) È С – ассоциативность объединения.

4. А Ç (В Ç С) = (А Ç В) Ç С – ассоциативность пересечения.

5. А È (В Ç С) = (А È В) Ç (А È С) – дистрибутивность объединения относительно пересечения.

6. А Ç (В È С) = (А Ç В) È (А Ç С) - дистрибутивность пересечения относительно объединения.

7. А È А = А

8. А Ç А = А

9. А È Æ= А - законы поглощения

10. А Ç Æ = Æ

11. А È U = U

12. А Ç U = А

Данные свойства доказываются аналитически (используя определение равных множеств) и графически.

Например, ассоциативность пересечения А Ç (В Ç С) = (А Ç В) Ç С доказывается с помощью рисунка следующим образом. Изобразим множества А, В и С в виде трех попарно пересекающихся кругов.

 

Рис. (а) Рис. (б)

В выражении А Ç (В Ç С) скобки определяют порядок действий: сначала выполняется пересечение множеств В и С – оно отмечено на рисунке а вертикальной штриховкой, а затем находят пересечение полученного множества и множества А. Если множество А отметить наклонной штриховкой, то область, заштрихованная дважды, и будет изображать множество А Ç (В Ç С). Если посмотреть на рисунок б, то здесь сначала выполняется пересечение множеств А и В – оно отмечено горизонтальной штриховкой, а затем находится пересечение множества С с полученным множеством. Если отметить множество С вертикальной штриховкой, то область, заштрихованная дважды, и будет изображать множество (А Ç В) Ç С.

Видим, что области, представляющие на рисунке множества А Ç (В Ç С) и (А Ç В) Ç С одинаковы, что и подтверждает справедливость ассоциативного свойства пересечения множеств.

 

3. Разностью множеств А и В называется множество, состоящее из тех и только из тех элементов, которые принадлежат А и не принадлежат В.

Разность множеств А и В обозначается символом: А \ В.

Определение разности можно записать в таком виде: А \ В = {x| x Î A и x Ï B}.

Операция, при помощи которой находится разность множеств, называется вычитанием.

На диаграмме Эйлера- Венна разность множеств А и В изображается следующим образом:

 


Рис. (а) Рис. (б) Рис. (с)

На рисунке (б) А Ç В = Æ, т.о. А \ В = А и В \ А = В.

Рассмотрим рисунок (с): Если В Ì А, то разность А \ В называется дополнением множества В до А. Дополнение обозначают символом .

Данная ситуация помогает объяснить ребенку, что 5- 3= 2. Берут 5 предметов, например 5 квадратов. После того, как ребенок убедится при помощи счета, что квадратов действительно 5, ему предлагают 3 квадрата убрать и сосчитать, сколько квадратов осталось. Осталось 2, значит, 5 – 3 = 2.

В чем суть этого приема? Из данного множества, в котором а элементов, удаляют подмножество, содержащее в элементов. Тогда в оставшейся части множества а - в элементов.

Рассмотрим следующий пример: Пусть даны множества А = {2, 5, 7, 9} и В = {3, 5, 8, 9, 12}. Тогда разность множеств А и В будет равна: А\В = {2, 5, 7, 9}\{3, 5, 8, 9, 12}= {2, 7}.

Изобразим на диаграмме:

 

 


 
Если U – универсальное множество и А Ì U, то разность

U \ A называется дополнением множества А до множества U и обозначается .

Итак, по определению: U \ A = = {x| xÎU и xÏA}.

 

Свойства разности и дополнения

Прежде всего необходимо отметить, что разность не обладает свойствами коммутативности и ассоциативности, то есть A \ В ¹ В \ A и A \ (В \ С) ¹ (A \ В) \ С. В этом легко убедиться, построив диаграммы Эйлера- Венна.

Вместе с тем для разности и дополнения справедливы следующие свойства:

1. = U.

2. = Æ

3. A \ Æ = А

4. ∩ А = Æ

5. А =U

6. = законы де Моргана

7. =

8. A \ (В С) = (A \ В) \ С

9. A \ (В \ С) = (A \ В) С, если С Ì А.

Справедливость свойств 1 - 5 вытекает непосредственно из определений разности и дополнения. Свойства 6-9 доказываются аналитически (используя определение равных множеств) и графически.

Докажем свойство 6 аналитическим способом.

Для доказательства используем следующее определение: Два множества К и М называются равными, если КÌМ и М Ì К.

1. Докажем сначала, что Ì Ç . Возьмем произвольный элемент хÎ . Тогда по определению дополнения хÏ А В, откуда по определению объединения следует, что хÏА и х Ï В. Но тогда по определению дополнения хÎ и хÎ . Следовательно, по определению пересечения хÎ Ç .

Итак, из того, что хÎ , следует, что хÎ Ç . В силу произвольности выбора х это означает, что Ì Ç .

2. Докажем теперь, что Ç Ì . Возьмем произвольный элемент у Î Ç . Тогда по определению пересечения уÎ и уÎ , откуда по определению дополнения у ÏА и у Ï В. Но тогда по определению объединения у Ï А В. Следовательно, по определению дополнения уÎ .

Итак, из того, что уÎ Ç следует, что уÎ . В силу произвольности выбора у это означает, что Ç Ì .

3. Исходя из определения равных множеств: Если Ì Ç и Ì , то отсюда следует, что = Ç .

Приоритет выполнения операций над множествами

Если над множествами выполняются операции пересечения, объединения, дополнения и вычитания и в выражении отсутствуют скобки, то сначала выполняется операция дополнения, затем пересечения и только потом вычитание и объединение. Если же в выражении имеются скобки, то последовательность выполнения операций может быть изменена скобками: сначала действие выполняется в скобках, а затем необходимо следовать выше описанному правилу.

 

4. Декартовым произведением двух множеств А и В называется множество пар вида (а, b), где первая компонента принадлежит множеству А, а вторая компонента принадлежит множеству В.

Декартово произведение множеств А и В обозначается символом: А х В.

Определение декартова произведения можно записать в таком виде: А х В = {(а, b) êа Î A и b Î B}.

Операция, с помощью которой находят декартово произведение множеств, называется декартовым умножением.

Свойства декартова умножения

Говоря о свойствах декартова умножения, прежде всего отметим, что оно не обладает свойсвами коммутативности и ассоциативности.

1. Если А ¹ В, то А х В ¹ В х А.

2. Если ни одно из множеств А, В и С не является пустым, то А х (В х С) ¹ (А х В) х С.

Декартово умножение дистрибутивно относительно объединения, пересечения и вычитания множеств, т.е. для любых множеств А, В и С справедливы равенства:

3. А х (В С) = (А х В) (А х С)

4. (А В) х С = (А х С) (В х С)

5. А х (В ∩ С) = (А х В) ∩ (А х С)

6. (А ∩ В) х С = (А х С) ∩ (В х С)

7. А х (В \ С) = (А х В) \ (А х С)

8. (А \ В) х С = (А х С) \ (В х С)

Данные свойства доказываются аналитически, используя определение равных множеств.

Если множества А и В числовые, то для наглядного представления декартова произведения этих множеств используется прямоугольная система координат. При этом элементы множества А считают абсциссами, а элементы множества В – ординатами точек на плоскости. Изображая каждую пару чисел (а, b) точкой на координатной плоскости, получим фигуру, наглядно представляющую декартово произведение множеств А и В.

Например, изобразим декартово произведение множеств А и В, если:

1. А = { x| xÎN и 1 £ х £ 3 } и В = { у| уÎN и 3 £ у £ 6}

2. А = {x| xÎR и 1 £ х £ 3 } и В = { у| уÎZ и 3 £ у £ 6}

3. А = {x| xÎR и 1 £ х £ 3 } и В = { у| уÎ R и 3 < у < 6}

1. В данном случае х и у принадлежат множеству натуральных чисел, поэтому сначала найдем множество пар (а, b), которые составляют декартово произведение множеств А и В: А х В = {(1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6)}. Изобразим теперь эти точки на координатной плоскости.

у

4 3

 

0 1 2 3 4 х

2. В этом случае множество А х В состоит из всех точек плоскости, абсциссы которых удовлетворяют неравенству 1 £ х £ 3, а ординатами являются целые числа из отрезка [3; 6]. Этим условиям удовлетворяют отрезки параллельных прямых, изображенные на рисунке:

у

 

0 1 2 3 4 х

3. В этой ситуации множество А х В состоит из всех точек плоскости, абсциссы которых удовлетворяют неравенству 1 £ х £ 3, а ординаты – неравенству 3 < у < 6. Этим условиям удовлетворяет фигура, изображенная на рисунке:

у

 

 

 

0 1 2 3 4 х

 

Разбиение множества на классы

В процессе изучения предметов и явлений окружающего мира мы постоянно сталкиваемся с классификацией. Классификация широко используется в биологии, химии, математике, языке и других науках. Она облегчает процесс усвоения знаний. Классификация дает возможность рассмотреть все многообразие окружающих нас объектов и явлений в определенной системе, выделить интересующие нас виды, например животных или растений. В курсе математики также имеются различные классификации: например, натуральные числа делятся на четные и нечетные, множество треугольников делится на остроугольные, тупоугольные и прямоугольные и т.д.

Педагог должен знать сам и уметь разъяснить детям, как проводится классификация, какие необходимые общие правила при этом соблюдаются.

Классификация в любой области человеческой деятельности связана с разбиением множества на (подмножества) классы. Полученные подмножества должны обладать следующими свойствами:

1) они не должны быть пустыми;

2) не должны содержать общих элементов;

3) объединение всех подмножеств должно равняться самому множеству.

Дадим точное определение разбиения множества на классы:

Классификацией или разбиением множества на классы называется представление этого множества в виде объединения непустых попарно непересекающихся подмножеств.

Таким образом, множество А разбито на классы А1, А2, А3, …, Аn, если выполняются следующие условия:

1. Аi ¹ Æ, где i = 1, 2, 3, … n

2. Аi ∩ Аj = Æ где i, j = 1, 2, 3, … n и i ¹ j

3. А1 А2 А3 Аn = А.

Если не выполнено хотя бы одно из условий, классификацию считают неправильной.

Так, например, если в множестве А треугольников выделить подмножества равнобедренных, равносторонних и разносторонних, то разбиения множества А на классы мы не получим, так как множество равносторонних треугольников включается в множество равнобедренных (все равносторонние треугольники являются равнобедренными).

Итак, классификация связана с выделением из множества его подмножеств. Для того чтобы выделить подмножество, достаточно указать характеристическое свойство его элементов.

Рассмотрим классификацию с помощью одного, двух и трех свойств.

Пусть U – универсальное множество (блоки Дьенеша). С помощью свойства «быть квадратом» выделим подмножество А – квадратов и - не квадратов. Эти два подмножества не пересекаются. Они не пустые. Объединение этих подмножеств составляет множество U. На диаграмме Эйлера-Венна это изображается так:

 

 

Таким образом, с помощью одного свойства мы разбили множество на два класса.

Возьмем теперь два свойства «быть квадратом» и «быть красным». С помощью указанных свойств в множестве U можно выделить следующие подмножества: А – множество квадратов; - множество не квадратов; В – множество красных фигур; - множество не красных фигур.

Множество U в этом случае оказывается разбитым на следующие четыре класса:

1 – А В – красные квадраты; 2 - А - не красные квадраты; 3 - В – красные фигуры, которые не квадраты; 4 - - не красные фигуры не квадраты. На диаграмме Эйлера- Венна видно, что указанные четыре класса не пересекаются, а их объединение образует все множество U.

 

При работе с этим заданием в ДОУ или в начальной школе используется два обруча разного цвета красный и черный. В красный обруч дети складывают красные фигуры, а в черный обруч – квадраты. После того, как дети с помощью педагога распределили фигуры, полезно провести беседу по вопросам: 1) Какие фигуры лежат внутри обоих обручей? 2) внутри красного, но вне черного? 3) внутри черного, но вне красного? 4) вне обоих обручей? При ответе на вопросы следует, дети должны называть оба свойства – форму и цвет.

Возьмем теперь три свойства «быть квадратом», «быть красным», и «быть большим», тогда на множестве U можно выделить следующие подмножества: А – множество квадратов; - множество не квадратов; В – множество красных фигур; - множество не красных фигур; С – множество больших фигур; - множество небольших (маленьких) фигур. В рассматриваемом случае множество U оказывается разбитым на следующие 8 классов:

1 – А ВС – красные большие квадраты;

2 – А В – красные небольшие квадраты;

3 – АС – не красные большие квадраты;

4 – ВС – красные большие фигуры, которые не квадраты;

5 – А – не красные небольшие квадраты.

6 – С – не красные большие фигуры, которые не квадраты;

7 – В – небольшие красные фигуры, которые не квадраты;

8 – –небольшие не красные фигуры, которые не квадраты.

На диаграмме Эйлера-Венна видно, что указанные классы не пересекаются, а их объединение образует все множество U.

 
 

 


При работе с детьми над этим заданием в ДОУ или в начальной школе используется три обруча: красный, черный и синий. Внутри красного обруча должны быть все красные фигуры, внутри черного – все квадраты, внутри синего – все большие фигуры. После распределения всех блоков детям задаются следующие вопросы: Какие блоки лежат: 1) внутри всех трех обручей? 2) внутри красного и черного, но вне синего обруча? 3) внутри черного и синего, но вне красного обруча? 4) внутри красного и синего, но вне черного обруча? 5) внутри красного, но вне черного и вне синего обруча? 6) внутри черного, но вне синего и вне красного обруча? 7) внутри синего, но вне красного и вне черного обруча? 8) вне трех обручей?

 

Задания для самостоятельной работы

1. Приведите примеры множеств, составленных из объектов следующих видов:

а) неодушевленных предметов;

б) животных;

в) растений;

г) геометрических фигур.

2. используя символы, запишите двумя способами множества, элементами которых являются:

а) натуральные числа, меньшие 9;

б) целые числа, большие – 4 и меньшие 10;

в) натуральные делители числа 180;

3. Даны множества А = {0, 1, 2. 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, В = {11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99}, С = {существительные, прилагательные, глаголы, наречия, предлоги, союзы, числительные, междометия}. Укажите характеристические свойства элементов этих множеств.

4. Даны числа Какие из них принадлежат множеству:

а) Z - целых чисел;

б) N – натуральных чисел;

в) Q – рациональных чисел;

г) R – действительных чисел.

Сделайте соответствующие записи.

5. Определите отношения между множествами: 1) прямоугольных треугольников и равнобедренных треугольников; 2) ромбов и параллелограммов; 3) прямоугольников и четырехугольников с равными диагоналями; 4) натуральных делителей чисел 48 и 36; 5) гласных букв и согласных букв. Изобразите отношения на диаграммах Эйлера-Венна.

6. Даны множества А – множество параллелограммов; В – множество треугольников; С – множество многоугольников с углом в 600. Запишите характеристическое свойство элементов множества Х = А Ç С È В

7. К – множество всех треугольников, S – множество равнобедренных треугольников, Q - множество прямоугольных треугольников. Укажите характеристическое свойство следующих множеств и изобразите их при помощи кругов Эйлера-Венна: 1) K ∩ S; 2) S ∩ ; 3) ; 4) U S; 5) K ∩ S ∩ ; 6) ( ∩ S) U Q; 7) ( U S) ∩Q.

8. Даны множества Р – множество остроугольных треугольников; Q – множество равнобедренных треугольников; S – множество равносторонних треугольников. Укажите характеристическое свойство элементов множества и начертите две фигуры, принадлежащих множеству Y.

9. Пусть А – множество студентов группы, закончивших педколледж, D – множество студентов группы, являющихся отличниками. Сформулируйте условия при которых: а) Ø; б) D .

10. Какая фигура может получиться в пересечении треугольника и четырехугольника? Рассмотрите несколько случаев.

11. Найдите пересечение и объединение множеств А и В, если А – множество однозначных чисел, В – множество четных чисел.

12.М – множество правильных многоугольников, К - множество прямоугольников. Из каких фигур состоит пересечение и объединение множеств М и К?

13. Найдите дополнение: 1) множества остроугольных треугольников до множества треугольников; 2) множества нечетных натуральных чисел до множества натуральных чисел; 3) множества отрицательных чисел до множества целых чисел.

14. Перечислите элементы, принадлежащие пересечению множества букв в слове «математика» и множества букв в слове «грамматика». Из каких элементов состоит объединение данных множеств?

15. Даны множества: А = {a, b, c, d, e}, B = {b, c, d, f, m}. Перечислите элементы множеств К= и . Содержится ли элемент m в множестве К, а элемент f в множестве Р?

16. Найдите разность множества А = {a, b, c, d, e} и множества В, если: а) В = {c, d, e, f, k, l}; б) В = {a, c, e}; в) В = {c, a, d, e, b}; г) В = {k, l, m}; д) В = {a, b, c, d, e, f, k}; е) В = Ø.

 

17. Найдите декартово произведение А х В и изобразите на координатной плоскости, если 1) А = {-1, 0, 1,}, В = {2, 3, 4}; 2) А = [1; 6], В = [-5; 0]; 3) А = {2, 4, 6,}, В = [-3; 2]; 4) А = R, В = [2; 6]; 5) А = {3}, В = R, 6) А = R, В = {-2}.

18. Проверьте, правильно ли выполнена классификация, если: 1) множество углов разбили на острые, тупые и прямые; 2) множество студентов данной группы разбили на отличников, успевающих и неуспевающих; 3) множество букв русского языка разбили на гласные и согласные; 4) множество натуральных чисел разбили на однозначные, двузначные и трехзначные.

19. Из множества С треугольников выделили два подмножества: А – множество равнобедренных треугольников и В – множество остроугольных треугольников. Постройте круги Эйлера-Венна для множеств А, В и С; установите, на сколько попарно непересекающихся множеств произошло разбиение множества С; укажите характеристические свойства этих множеств.

 





Дата добавления: 2014-12-27; Просмотров: 3401; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2017) год. Не является автором материалов, а предоставляет студентам возможность бесплатного обучения и использования! Последнее добавление ‚аш ip: 54.157.52.205
Генерация страницы за: 0.273 сек.