Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Величины и их измерение 1 страница




 

Понятие величины

Понятие величины является одним из основных понятий, когда речь заходит о приложениях математики к окружающему миру. Данное понятие немаловажно для формирования современных представлений о мире и практической деятельности, поэтому уже в дошкольном образовательном учреждении и в начальной школе дети изучают различные величины.

Рассмотрим пример. Пусть дано множество отрезков. Все отрезки обладают свойствами:

1) отрезки ограничены с двух сторон;

2) отрезки обладают свойством протяженности.

Рассматривая эти свойства, можно отметить, что первое свойство не позволяет сравнивать отрезки между собой, а по второму свойству можно сравнить любые два отрезка. Это свойство отражается в такой величине как длина.

Каждый объект или явление, с которыми людям приходится сталкиваться повседневно, обладают различными свойствами. Эти свойства бывают присущи различным объектам в различной степени и, кроме того, могут меняться с течением времени. Чтобы дать научное обоснование происходящим процессам, нужно уметь количественно их оценивать. Поэтому содержание многих наук связано с изучением различных свойств, выраженных в соответствующих величинах. Так, например, свойству пространственной протяженности отвечает величина, называемая длиной, свойству инертности – масса и т.д.

В геометрии так же изучаются величины, они называются геометрическими. Геометрические величины – это свойства геометрических фигур, характеризующие их форму и размеры. К ним относятся: длина, площадь, объем и величина угла.

Величины, выражающие одно и то же свойство объектов или явлений, называются однородными. Разнородные величины выражают различные свойства.

Величины не существуют в отрыве от реальности, их вводят в ходе познания для наблюдений за происходящими изменениями в природе и обществе. Без величин такие науки, как математика, физика, химия, астрономия, экономика и многие другие носили бы только описательный характер.

В связи с фундаментальным значением понятия величины для многих наук, изучению различных величин в школе уделяется большое внимание. Начиная с дошкольного возраста, у детей формируются интуитивные представления о некоторых величинах и их практическом измерении. Учитель начальных классов должен не просто продолжить эту работу на более высоком уровне строгости, но и целенаправленно знакомить учащихся со свойствами, общими для всех скалярных величин, то есть величин, характеризуемых только числовым значением.

К скалярным величинам относятся длина, площадь, объем, величина угла и др. В геометрии, прежде всего, изучают то число, которое получают в результате измерения величины, то есть меру величины при выбранной единице величины. Поэтому часто это число называют длиной, площадью, объемом.



В практике работы школ можно наблюдать, что учащиеся часто смешивают такие понятия, как «отрезок» и «длина отрезка», «площадь прямоугольника» и «прямоугольник», находят «величину отрезка», «величину дроби». То есть свойства величин приписывают многим, часто не обладающим этим свойствами объектам. Поэтому учитель должен четко представлять себе и доводить до сознания учащихся, что длина отрезка – это число, характеризующее данный отрезок, а отрезок – часть прямой; прямоугольник – фигура, а площадь прямоугольника - число, характеризующее его и т.д.

Некорректное использование термина «величина» объясняется, прежде всего, тем, что обозначаемое им понятие не является чисто математическим. Его применение во многих областях знаний (физике, химии, астрономии и др.) привело к употреблению этого термина в различных смыслах. Произошло смешение понятий «величина» и «мера», последнее из которых выражает величину после выбора некоторой единицы измерения.

Термин «величина» впервые появился в философской литературе и был связан с действительными числами. Исторически числа возникли в процессе счета предметов и измерения величин. Именно на это обстоятельство указывал Аристотель, когда писал: «То или иное количество есть множество, если его можно счесть; есть величина, если его можно измерить».

Особую важность понятия величины в математике, ее фундаментальную значимость подчеркивал Ф. Энгельс: «Математика – это наука о величинах, она исходит из понятия величины».

До конца XIX в., как в философской, так и в математической литературе все определения понятия величины носили лишь описательный характер. Так Л. Эйлер называл величиной «все то, что способно увеличиваться или уменьшаться».

В процессе длительной эволюции понятие величины уточнялось, развивалось и обобщалось.

В философском словаре дается следующее определение данному понятию: величина – это числовая характеристика физических свойств объекта; служит для точной характеристики количественных отношений объектов; процессов действительности.

В толковом словаре С.И. Ожегова слово «величина» имеет три значения. 1. Размер, объем, протяженность предмета. 2. Величина – это то (предмет, явление и т.п.), что можно измерить, исчислить. 3. О человеке – переносное значение (он крупнейшая величина в физике).

В профессиональной речи учителя на основании общеупотребительных значений, приведенных в толковом словаре, слово «величина» употребляется в двух значениях.

1-е значение. Под понятием «величина» понимается свойство предмета, объекта (в твердом, жидком или газообразном состоянии), которое «можно измерить, исчислить»: длина, объем, время, скорость и др.

В этом значении термин «величина» является родовым понятием, к которому как видовые относятся «длина», «объем», «время», «скорость» и др.

2-е значение. «Величина» – это количественная характеристика свойства предмета, выраженная в единицах измерения.

В этом значении слово «величина» употребляется для выражения числового значения величины как свойства предметов (например, высота дерева 3 метра).

В математике величиной называют общее свойство элементов некоторого множества, по которому их можно сравнивать.

Название свойства и величины не совпадают:

свойство величина

протяженность длина

занимать место на плоскости площадь

обладать инертностью масса

иметь численность количество

длительность протекания процессов время.

Каждая величина имеет свою область определения (или свое поле). Множество объектов реальной действительности, обладающих общим свойством, по которому их сравнивают, называется областью определения величины.

Например, областью определения длины является множество отрезков; областью определения площади является множество плоских фигур.

Рассмотрим основные видывеличин.

1. По области определения выделяют аддитивные и не аддитивные величины:

­ если во множестве определения величин выполнима операция «сложения» или «расчленения», то величина называется аддитивной (длина отрезка, масса предмета и др.);

­ если во множестве данные операции не выполнимы, то величина называется не аддитивная (хронологическое время).

2. По множеству значений величины бывают:

­ непрерывные, если множеством значений является множество действительных чисел (масса предмета, площадь фигуры и др.);

­ дискретные, если множеством значений величины является множество натуральных чисел (количество предметов).

3. По способу обозначения выделяют:

­ скалярные, которые определяются одним числовым значением. К ним относятся: протяженность (длина, ширина, высота, толщина), площадь, объем, время и др.;

­ векторные, которые определяются не только числовым значением, но и направлением (сила, ускорение).

4. По выражаемым свойствам объектов величины бывают:

­ однородные – выражают одно и тоже свойство объектов некоторого множества;

­ разнородные – выражают различные свойства объектов.

5. По единицам измерения выделяют основные и производные величины:

­ величины, единицы измерения которых принимаются за основные, называются основными (в международной системе единиц их 7: метр, килограмм, секунда, ампер, кельвин, моль, кандела);

­ величины, единицы измерения которых образуются из основных, называются производными.

В данном пособии мы ограничимся рассмотрением только скалярных величин.

Скалярные величины

Еще Евклид в книге «Начала», не использую термин «величина», перечислил аксиомы, описывающие общие свойства положительных скалярных величин:

­ равные одному и тому же равны между собой;

­ если к равным прибавить равные, то целые будут равны между собой;

­ целое больше своей части и т.д.

В дальнейшем при практическом использовании конкретных скалярных величин были установлены и другие их общие свойства. Однако строгое определение сложилось лишь после построения теории действительного числа.

В современной математике имеется несколько подходов к понятию скалярной величины. Рассмотрим наиболее распространенный из них.

Пусть имеем множество M – множество предметов или явлений, обладающих свойством A. Для этого множества M определена операция сложения, определен эталон (e). Возьмем множество – множество положительных действительных чисел.

Свойство A называется аддитивно-скалярной величиной, если существует отображение f: , удовлетворяющее следующим требованиям (аксиомам):

1. Существование единицы. эталону мы ставим в соответствие единицу;

2. Инвариантность. Если a, b – элементы множества M, эквивалентные относительно свойства A, то ;

3. Аддитивность. Если во множестве M элементы a, b допускают сложение, то есть , то ;

4. Монотонность. Если a, b – элементы множества M и , то .

Отображение f называется измерением величины A.

Учащиеся начальных классов должны получить некоторые сведения об общих свойствах положительных скалярных величин, а в процессе изучения конкретных величин ими пользоваться.

Так, в практике преподавания величин в период детства используются следующие свойства:

1. Скалярные величины могут быть однородными (одного рода) или разнородными.

2. Любые две величины одного рода сравнимы: либо они равны, либо одна из них меньше другой.

3. Величины одного рода можно складывать, в результате получится величина того же рода.

4. Величину можно умножать на действительное число, в результате получится величина того же рода.

5. Величины одного рода можно вычитать, определяя разность величин через сумму. В результате вычитания получится величина того же рода.

6. Величины одного рода можно делить, определяя частное через произведение величины на число. В результате деления величин получится действительное число.

 

Измерение величин

Сравнение величин осуществляется с помощью измерения. При непосредственном сравнении величин мы можем установить, равны они или нет. Если величины не равны, то можем указать, какая из них меньше, а какая больше. Для того чтобы получить более точный результат сравнения и ответить на вопрос «На сколько меньше (больше)?», необходимо величины измерить, то есть провести сравнение с помощью мерки (опосредованное сравнение).

В общем смысле, измерение – вид деятельности, направленный на определение величины условного объекта. Объект измерения – измеряемая величина, средство измерения – выбранная мерка. Цель измерения – определить величину предмета, выразить ее числовым значением. Результат измерения – установить численное отношение между измеряемой величиной и заранее выбранной единицей измерения.

Измерение различных величин в техническом отношении носит различный характер, для длин он один, для масс – другой, для времени – третий и т.д. Однако в основе любого измерения лежит один и тот же принцип: измеряемый объект сравнивается с эталоном, то есть с предметом или явлением, величина которого принята за единицу измерения. В результате сравнения получается число, характеризующее измеряемую величину.

Пусть дана величина , которую мы хотим измерить, и выбран эталон – единица измерения .

Мерой величины a при выбранной единице измерения e называется такое положительное действительное число x, что .

При этом x называют численным значением величины a и пишут .

Таким образом, исходя из определения скалярной величины и меры величин, любую величину из системы скалярных величин M можно измерить.

Системой измерения положительных скалярных величин называется отображение , относящее каждой величине положительное действительное число, удовлетворяющее следующим условиям:

1. Существование единицы измерения. Во множестве M существует величина e, мера которой равна единице.

.

2. Инвариантность меры. Равные величины имеют равные меры.

3. Аддитивность меры. Если величина равна сумме нескольких величин, то ее мера равна сумме мер слагаемых величин.

4. Монотонность меры. Меньшая величина имеет меньшую меру.

.

Возможность измерять позволяет свести сравнение величин к сравнению соответствующих им чисел, а операции над величинами к соответствующим операциям над числами.

1. Если величины a и b измерены при помощи единицы величины e, то отношения между величинами a и b будут такими же, как и отношения между их численными значениями, и наоборот.

а = b Û mе (a) = mе (b),

a > b Û mе (a) > mе (b),

a < b Û mе (a) < mе (b).

Например, если массы двух тел таковы, что a = 5 кг, b = 3 кг, то можно утверждать, что масса a больше массы b поскольку 5 > 3.

2. Если величины a и b измерены при помощи единицы величины e, то чтобы найти численное значение суммы a + b достаточно сложить численные значения величин a и b.

.

Например, если a = 15 кг, а b = 12 кг, то a + b = 15 кг + 12 кг = (15 + 12) кг = 27 кг.

3. Если величины a и b таковы, что , где x – положительное действительное число, и величина a измерена при помощи единицы величины e, то чтобы найти численное значение величины b при единице e, достаточно число x умножить на число m(a), то есть .

Например, если масса a в 3 раза больше массы b, то есть и a = 2 кг, то кг)= кг = 6 кг.

При этом, говоря о величинах, необходимо четко различать.

1) объект или явление, к которому относится величина;

2) саму величину, как свойство объекта или явления;

3) числовое значение величины.

В обыденной речи и даже в математической литературе такая четкость не всегда соблюдается. Понятия «величина» и «числовое значение величины» часто отождествляются, что нередко приводит к определенной путанице и затрудняет процесс усвоения сложного понятия «величина».

Знакомство дошкольников и особенно учащихся начальной школы с конкретными величинами и их практическим измерением дает возможность проследить выполнимость многих свойств, общих для всех скалярных величин. Так, например, приступая к практическому измерению длин отрезков воспитателю и учителю полезно приводить примеры и подчеркивать необходимость соблюдения всех трех условий: существования единицы измерения, инвариантность и аддитивность меры.

 

Из истории развития системы мер

Потребность в измерениях человек ощутил очень рано. В связи с необходимостью производить орудия труда, строить жилище, добывать пищу ему приходилось измерять расстояние, емкости, массу, время и прочее. Как при счете человек пользовался вначале пальцами рук и ног, так и при измерении расстояний он прибегал к частям своего тела.

В дошедших до нас памятниках имеются некоторые сведения о системах мер древних народов. Известно, например, что строители египетских пирамид в качестве эталона длины использовали локоть – расстояние от локтя до конца среднего пальца, древние арабы – волос из ослиной морды. Англичане до сих пор пользуются королевским футом, равным длине ступни короля. В Голландии был введен дюйм – длина сустава большого пальца. Другая мера длины ярд была введена королем Англии Эдгаром и равнялась расстоянию от кончика носа его величества до кончика среднего пальца вытянутой в сторону руки.

Почти все народы мира измеряли расстояние шагами или днями пути. В Вавилоне, например, был введен стадий – расстояние, которое человек проходит спокойным шагом за промежуток времени от появления первого луча солнца до того момента, когда весь его диск окажется над горизонтом.

Вначале такие субъективные меры, общие для жителей некоторой территории, удовлетворяли людей. Однако в связи с развитием торговли и ремесел резко стал ощущаться их недостаток.

В XIV – XVI вв. стали появляться более объективные единицы измерения величин. В Англии, например, дюйм – длина трех приставленных друг к другу ячменных зерен, вынутых из средней части колоса, геометрический фут – ширина 64 ячменных зерен, положенных бок о бок. В качестве единиц массы вводятся гран – масса зерна, крат – масса семени одного из видов бобов.

Следующий период в развитии системы мер можно связать с появлением так называемых дольных и кратных единиц. Так появилась мера трость или двойной шаг, а затем двойная трость или перша. В Риме вводится миля, равная тысяче двойных шагов. Миля, принятая в Англии и Америке, равна 1760 ярдам или 5280 футам.

Русская система мер складывалась как под влиянием мер, принятых у других народов, так и самостоятельно. Основными мерами длины считался вершок, четверть, аршин, сажень, верста. Все они были связаны между собой: четверть равнялась 4 вершкам, аршин – 4 четвертям, сажень – 3 аршинам, верста – 500 саженям.

Основной мерой площади была десятина – площадь квадрата со стороной в 50 саженей (или 0,1 версты). Покосы мерили копнами – мера, равная 0,1 десятины.

Древнейшей единицей массы была гривна, получившая затем название фунт. Русский фунт (409,5 г) был меньше английского, равного 453,6 г. Фунт равнялся 32 лотами или 96 золотникам, а золотник – 96 долям. Более крупными единицами массы были пуд, равный 40 фунтам, и берковец, равный 10 пудам.

Разнообразие мер у разных народов мешало активному налаживанию торговых связей, тормозило развитие производства. В 1791 г. Национальное собрание Франции по предложению Комиссии по мерам и весам Академии наук утвердило новую систему мер, которая, по мнению ее создателей, годилась «на все времена и для всех народов». В соответствии с этой системой длина измерялась в метрах, масса (тогда вес) – в килограммах, а площадь земельных участков – в арах. В качестве основной единицы принимался метр, равный одной сорокамиллионной части длины земного меридиана, проходящего через Париж. Килограмм был определен как масса 1 дм3 воды при температуре . Ар выражал площадь квадрата, длина стороны которого равна 10 м. Поскольку меры основных величин были связаны с метром, новая система мер получила название метрической. Были изготовлены платиновые эталоны метра и килограмма, которые передали на хранение Национальному архиву Франции.

В 1875 г. 17 стран, в том числе и Россия, подписали Метрическую конвенцию, по которой обязались ввести в своих странах систему мер, разработанную французскими учеными. Но еще долго во всем мире пользовались местными мерами. В России это были старинные меры, входившие в «Систему Российских мер и весов», принятую в 1827 г. Реально метрическая система мер на территории России стала применяться только после революции 1917 года, а окончательно вошла в употребление на территории СССР с 1927 года.

Метрическая система мер, принятая в 1791 г., вполне отвечала уровню развития науки и техники того времени. Однако со временем она получила значительные уточнения и дополнения. К середине XX в. снова остро встала проблема создания единой универсальной системы мер. Разработкой этой проблемы занимался Международный комитет мер и весов. В 1960 г. было принято решение о введении Международной системы единиц (СИ).

 

Международная система единиц

Постановлением Госстандарта СССР (ГОСТ) от 6 апреля 1979 г. был введен в качестве государственного стандарт СТ СЭВ 1052 – 78 «Метрология. Единицы физических величин» со сроком начала применения с 1 января 1980 г. Таким образом, на территории СССР вошла в действие как обязательная Международная система физических единиц (СИ), а также десятичные кратные и дольные от них единицы. Эта система состоит из семи основных единиц (метр, килограмм, секунда, ампер, кельвин, моль, кандела), двух дополнительных (радиан и стерадиан) и производных единиц, образованных из основных и дополнительных.

Физические величины, измеряемые с помощью семи основных единиц, называются основными. К ним относятся: длина, масса, время, сила тока, температура, количество вещества, сила света.

Величины, которые определяются через основные, называются производными. Примерами производных величин являются: площадь, объем (вместимость), скорость, ускорение и др.

Три первых из семи основных единиц СИ представлены в виде таблицы (табл. 1).

Таблица 1

Международная система единиц (СИ)

Величина Единица Обозначение Определение
международное русское
Длина Метр m м Метр равен 1650763,73 длин волн в вакууме излучения, соответствующего переходу между уровнями 2р10 и 5d5 атома криптона 86
Обозначение рекомендуемых дольных и кратных единиц: км, см, мм, мкм, нм
Масса Килограмм kg кг Килограмм равен массе международного прототипа килограмма
Обозначение рекоменду-емых дольных и кратных единиц: Мг, г, мг, мкг
Время Секунда s с Секунда равна 9192631770 периодам излучения, соответствующего переходу между двумя сверхтонкими уровнями основного состояния атома цезия - 133
Обозначение рекомендуемых дольных и кратных единиц: кс, мс, мкс, нс

Значение приставок, рекомендуемых для обозначения дольных и кратных единиц, указаны в таблицах 2, 3.

Таблица 2

Приставки и множители кратных единиц

Наименование приставки Обозначение Множитель
между-народ- ное русское
гига G Г 109
мега M М 106
кило k к 103
гекто h г 102
дека da да 101

Таблица 3

Приставки и множители дольных единиц

Наименование приставки Обозначение Множитель
между-народ- ное русское
деци d д 10-1
санти c с 10-2
милли m м 10-3
микро мк 10-6
нано n н 10-9

Примечания: 1. Для обозначения кратных и дольных единиц массы следует использовать дольную единицу – грамм (0,001 кг), так как наименование основной единицы – килограмм содержит приставку «кило». Поэтому приставку надо присоединять к слову «грамм», например, миллиграмм, а не микрокилограмм.

2. Дольная единица массы – грамм допускается к применению и без приставки.

Таким образом, названия новых (кратных и дольных) единиц образуются из названий «метр», «грамм», «секунда», и других с помощью приставок. Например, километр – это кратная единица, 1 км = м = 1000 м; миллиметр – это дольная единица, 1 мм = м = 0,001 м.

СИ (SI) – сокращенное наименование, означающее «система интернациональная»; произносится «Эс – И». Говорить и писать следует «единицы СИ», а не «единицы системы СИ».

Кроме того, вместо термина «единица величины» не допускается применение «единицы измерения величины», поскольку термин «измерение» сам определяется через понятие величины (см. определение «измерение»). Таким образом, следует говорить: «метр – единица длины», «килограмм – единица массы», «секунда – единица времени» и т.д.

Остановимся более подробно на рассмотрении некоторых производных единиц СИ, образованных из основных и дополнительных.

Единица площади – квадратный метр равен площади квадрата со сторонами, длины которых равны 1 м. Обозначается квадратный метр – м2. Аналогично определяются: квадратный километр – км2; квадратный дециметр – дм2; квадратный сантиметр – см2; квадратный миллиметр – мм2.

Трактовать обозначение кратной и дольной единицы как произведение приставки и основной единицы, ошибочно. То есть ошибочно считать, что 1 км2 = м2. В таком случае возведение кратной или дольной единицы в степень пришлось бы понимать неверно. Так, обозначение км2 соответствовало бы единице «килоквадратный метр», тогда как в действительности км2 означает квадратный километр, то есть 1 км2 = = 1000000 м2. Именно такая ошибка часто встречается у учащихся при изучении единиц площади в начальной школе. Поэтому учителю начальных классов на это следует обратить особое внимание.

Единица объема (вместимости) – кубический метр равен объему куба с ребрами, длины которых равны 1 м. Обозначается кубический метр – м3. Аналогично определяются: кубический дециметр – дм3; кубический сантиметр – см3; кубический миллиметр – мм3.

Единица скорости – метр в секунду равна скорости прямолинейно и равномерно движущейся точки, при которой эта точка за время 1 с перемещается на расстояние 1 м. Обозначается метр в секунду – м/с. Аналогично определяются: километр в час – км/ч; сантиметр в секунду – см/с и другие единицы.





Дата добавления: 2014-12-27; Просмотров: 1366; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2017) год. Не является автором материалов, а предоставляет студентам возможность бесплатного обучения и использования! Последнее добавление ‚аш ip: 54.224.225.228
Генерация страницы за: 0.091 сек.