Гармонический ток в последовательной цепи

Рассмотрим, как определяется напряжение и мощность на отдельных элементах цепи при прохождении гармонического тока.

Сопротивление. Если ток i=I_m cos(ωt+α), то напряжение на сопротивлении R определяется следующей зависимостью: u=iR=RI_m cos(ωt+α)=U_m cos(ωt+α), т. е. U_m=RI_m, при этом начальные фазы тока и напряжения совпадают, т.е.сдвиг фаз напряжения и тока равен нулю φ=φ_u– φ_i =0.

На комплексной плоскости комплексные амплитуды тока и напряжения параллельны (рис.3.4, б).

Мгновенная мощность (рис. 3.4, а) имеет постоянную составляющую

.

Постоянная составляющая мгновенной мощности называется активной мощностью .

Она потребляется из сети и преобразуется в тепло.

Индуктивность. Напряжение на индуктивности

.

Отметим, что напряжение на индуктивности опережает ток на угол 90^о (фазовый сдвиг φ=φ_u–φ_i =90^o), а амплитуда напряжения связана с током зависимостью U_Lm = ωLI_m=X_LI_m,

где X_L=ωL – индуктивное сопротивление, Ом.

На комплексной плоскости (рис. 3.5, б) на индуктивности напряжение опережает ток на угол , т.е. так как

Мгновенная мощность

не содержит постоянной составляющей, т.е. индуктивность не потребляет активную мощность, но дважды за период потребляет из сети мощность и дважды за период отдает ее в сеть (запасает в магнитном поле, а потом отдает).

Емкость. Напряжение на емкости (рис. 3.6, а) определяется уравнением

Отметим, что напряжение на емкости отстает по фазе от тока на угол p/2, т.е. фазовый сдвиг j=j_u–j_i=–p /2, а амплитуды связаны уравнением где – емкостное сопротивление, Ом. На комплексной плоскости (рис. 3.6, б) напряжение на емкости изображается вектором, отстающим от вектора тока на угол , т.е. так как .

Мгновенная мощность

не содержит постоянной составляющей, т.е. емкость, как и индуктивность, не потребляет активную мощность, но дважды за период потребляет из сети, запасая в электрическом поле, и дважды за период отдает в сеть энергию (обменивается энергией с сетью).

Последовательная цепь RLC. Если сопротивление R, индуктивность L и емкость С включены последовательно под напряжение U (рис. 3.7, а) и ток определяется уравнением i=I_m cos wt, то уравнение напряжений имеет вид

.

В комплексной форме это уравнение можно записать так:

,

или, разделив на и перейдя к комплексам,

,

где X_L–X_С – реактивное сопротивление цепи;

Z =Ze^jj=R+jX – комплексное сопротивление цепи;

– полное сопротивление цепи.

На комплексной плоскости сумма напряжений будет представлена в виде диаграммы (рис. 3.7, б)

Так как напряжения на реактивных элементах направлены встречно, их значения могут оказаться больше напряжения сети, т.е в последовательной цепи при гармоническом токе напряжение на одном из реактивных элементов может оказаться больше суммарного напряжения (сетевого).

Если индуктивное сопротивление больше емкостного, т.е. X_L>X_C, то ток отстает от напряжения сети на угол φ (рис. 3.7, б) и наоборот при X_L<X_C ток опережает напряжение на угол φ (рис. 3.7, в). В первом случае цепь имеет индуктивный характер, во втором – емкостной. Комплексное сопротивление тоже может быть представлено на комплексной плоскости в виде треугольника сопротивлений (рис. 3.8, а) Z =R+jX.

При этом

.

В дальнейшем комплексные значения, у которых должен присутствовать сомножитель e^jωt, но непосредственно в уравнениях не присутствует, будем обозначать заглавной буквой с точкой наверху – это обычно токи или напряжения , а комплексные значения, не связанные с временем, например комплексные сопротивления, будем обозначать подчеркиванием снизу – Z или .

Мгновенная мощность в последовательной цепи

содержит постоянную составляющую и переменную составляющую, которая изменяется с двойной частотой сети (рис. 3.8, б). Постоянную составляющую, или среднее значение мгновенной мощности за период называют активной мощностью. Единица мощности ватт (Вт).

Для оценки значения энергии, которая запасается в магнитном и электрическом полях, а затем возвращается в сеть дважды за период, вводят понятие реактивной мощности Q=UI sin φ, единицей которой является вар(вар)

Учитывая, что напряжение на активном сопротивлении U_R=IR=IZ cos φ = U сos φ, активную мощность можно определять иначе:

P=UI cos φ = U_RI=I ² R.

Аналогично, напряжение на реактивных элементах U_X=IX=IZ sin j = U sin j и реактивную мощность можно определить иначе:

Q=UI sin j = I ² X = I ² X_L–I ² X_C=Q_L–Q_C.

Произведение действующих значений напряжения и тока определяет полную мощность S=UI, единицей которой является вольт-ампер (В×А). Полная мощность характеризует предельную мощность установки, которую можно было бы иметь при номинальных токах и напряжении (номинальный ток определяется сечением проводов, а номинальное напряжение особенностями изоляции проводов).

Обычно активная мощность, характеризующая преобразование электрической энергии в тепло или механическую работу, оказывается меньше полной. Отношение активной мощности к полной называют коэффициентом мощности

.

При гармонических токах он равен косинусу угла сдвига фаз между напряжением и током.

Активная, реактивная и полная мощности образуют треугольник мощностей (рис. 3.8, в). При этом

.

П р и м е р 3.3. Катушка индуктивности и конденсатор включены последовательно под переменное напряжение 220 В промышленной частоты (рис.3.9,а). Определить напряжение на катушке и на конденсаторе, если активное сопротивление катушки R =10 Ом, индуктивность L_k =0,1 Гн, емкость C =50 мкФ.

Р е ш е н и е. Определяем комплексное сопротивление цепи

Определяем комплекс тока, принимая, что начальная фаза напряжения равна нулю А.

Определяем комплекс напряжения на конденсаторе В.

Определяем комплекс напряжения на катушке Строим векторную диаграмму (рис. 3.9, б), отложив сначала вектор и затем . Их сумма дает вектор .

Возможно иное решение.

Определяем полное сопротивление цепи

=33,8 Ом.

Затем определяем действующее значение тока I =220/33,8=6,5 А.

Рассчитываем падения напряжения на активном и реактивных сопротивлениях цепи:

Определяем напряжение на катушке индуктивности

.

Векторную диаграмму строим, принимая начальную фазу тока равной нулю (рис. 3.7, в). При этом можно не показывать оси комплексной плоскости, а все векторы напряжений ориентировать относительно тока. Напряжение на активном сопротивлении катушки U_R=IR проводим пунктиром параллельно току, напряжение на индуктивном сопротивлении катушки U_L проводим также пунктиром перпендикулярно току, так как напряжение U_L опережает ток на 90°. Эти напряжения нельзя измерить – они имеют расчетный характер. Их геометрическая сумма представляет действующее напряжение на катушке U_k – его можно измерить вольтметром. Из конца вектора U_k проводим вектор U_c перпендикулярно току, но в другую сторону, так как напряжение U_c отстает от тока на 90°. Сумма всех векторов определяет напряжение сети. В предыдущем решении напряжение имело нулевую начальную фазу, а ток опережал напряжение на угол 72,8^о. Во втором варианте решения ток имел нулевую начальную фазу, а напряжение отставало от тока на угол j = –72,8^о. Для расчетов необходимо знать их взаимное положение. При этом сдвиг фаз определяют как j = j_u –j_i = –72,8^о

Дата добавления: 2014-12-27