Линейные и круговые диаграммы

Линейные диаграммы. При анализе цепей переменного тока необходимо знать, как изменяется модуль тока или напряжение при изменении какого-либо параметра цепи. Чаще всего конец рассматриваемого вектора перемещается на комплексной плоскости по прямой линии или по окружности. В первом случае получаются линейные диаграммы. В общем случае они получаются при суммировании векторов (рис. 3.19, а) , когда у одного из векторов изменяется модуль (k =varia).

Круговые диаграммы получаются, когда используется обратная величина линейной функции

varia;

y = j ₂ – j ₁.

Это уравнение можно записать иначе .

На комплексной плоскости оно будет представлено треугольником (рис. 3.19, б), у которого одна сторона неизменна, а две другие изменяются. При этом угол ψ между ними остается неизменным.. Из геометрии известно, что геометрическим местом вершин такого треугольника является окружность. Для построения этой окружности используем равенство углов ψ между векторами и и между хордой и касательной к окружности (рис. 3.19, б).

Построение круговой диаграммы начинают с вектора (рис. 3.19, в). Для этого выбирают масштаб токов m_I =2 A/см (произвольно) и откладывают отрезок 0 f = I_k/m_I изображающий ток I_k в выбранном масштабе На нем, как на хорде, строят дугу окружности. Для этого продолжают хорду и от конца вектора откладывают угол ψ. Получают касательную. Проводят к ней перпендикуляр и к середине хорды перпендикуляр. Пересечение этих перпендикуляров определяет центр окружности с. Проводят дугу окружности в сторону, противоположную касательной. По этой дуге будет перемещаться конец вектора (его изображает вектор 0 g). Отложив на хорде в некотором (произвольном) масштабе m_z отрезок oa (oa = ) и проведя из точки a под углом – ψ линию, получим возможность определять переменный параметр (рис. 3.19, в), соответствующий текущему значению искомого вектора . Для этого продолжим вектор до пересечения с линией переменного параметра (ЛПП). Получившийся отрезок ab изображает перезменный параметр в том же масштабе m_z. Доказывается это из подобия треугольников ogf и oab, имеющих общий угол fog и равные дополняющие углы ψ.

Из подобия этих треугольников следует (рис.3.19) Отрезки og и gf изображают токи и , поэтому в соответствии с уравнением

,

получим gf / og=k ab = k .

Иными словами, отрезок ab, умноженный на масштаб сопротивления m_Z, изображает изменяющееся сопротивление k ₁ Z ₂, т. е. k ₁ Z ₂= ab×m_Z.

Возможна и обратная задача – откладывая на линии переменного параметра различные значения k ₁ z ₂ и соединяя концы этих отрезков с точкой о, можно определить значения искомой значения I через длины отрезков og, которые в масштабе токов изображают искомую величину I. Таким образом можно построить график зависимости I(k ₁ z₂).

П р и м е р 3.8. В одной из ветвей электрической цепи изменяется емкость С. Нарисовать график зависимости тока через емкость от этой емкости, если параметры эквивалентного генератора, заменяющего рассматриваемую цепь, равны E_э = 100 В; Z _Э = 20 Ом(рис.3.20, а).

Рис. 3.20. Исследование последовательной цепи: а – схема цепи; б – круговая диаграмма; в – зависимость токов цепи от емкостного сопротивления

Р е ш е н и е. В соответствии с рис. 3.20, а определяем ток

, где .

На комплексной плоскости откладываем E_Э по вещественной оси в масштабе m_U = 20В/см и в масштабе m_I = 1 А/см(масштаб выбираем произвольно). Откладывая угол ψ = –135° на продолжение вектора , определим положение касательной (рис. 3.20, б). Проводим перпендикуляр к касательной и перпендикуляр к середине хорды . Их пересечение определяет центр окружности. Проводим дугу этой окружности в сторону, противоположную касательной. По этой дуге будет перемещаться конец вектора при изменении емкости С.

На хорде of откладываем произвольной длины отрезок oa, который изображает сопротивление Z_Э. Этот отрезок определяет масштаб сопротивлений Ом/см. Под углом – ψ проводим из точки a линию переменного параметра (ЛПП). На этой линии откладываем отрезки ab¢, ab¢¢, ab ¢¢¢ и т.д., изображающие сопротивления X_C в том же масштабе m_z. Проводим через эти точки линии до пересечения с окружностью. Эти линии изображают ток при соответствующих сопротивлениях X_C. Измеряя отрезки og¢, og¢¢, og ¢¢¢ и т.д. и умножая их на масштаб токов, определяем значения токов .

Строим график зависимости тока I от сопротивления x_C, откладывая на оси абсцисс сопротивления x_C, пропорциональные отрезкам ab¢, ab¢¢, ab¢¢¢, а по оси ординат токи I при соответствующем значении x_C (рис. 3.20, в). График имеет максимум при токе I¢¢, который на диаграмме совпадает с напряжением, что свидетельствует о том, что в цепи наблюдается резонанс напряжений.

Если спроектировать ток на напряжение, то отрезок oh изобразит в масштабе токов I cos φ, а в масштабе мощностей m_p = Um_I – активную мощность P = UI cos φ. Отрезок hq¢ изобразит в том же масштабе реактивную мощность Q.

П р и м е р 3.9. Определить с помощью круговой диаграммы, при какой емкости С ток в неразветвленной части электрической цепи (рис. 3.21, а) будет минимален, если при отсутствии емкости С токи имели следующие значения I ₁ = 7А, I ₂ = 6 А, I ₃ = 2 А, а напряжение U = 120 В. Определить также токи при резонансе.

Р е ш е н и е. При изменении емкости С ток I ₂ изменяется в соответствиис уравнением

.

Строим круговую диаграмму этого тока. Для этого откладываем ток в масштабе m ₁ =1 А/см. На продолжении этого вектора строим угол y = –90°, и тем самым определяем положение касательной. Проводим к касательной перпендикуляр (он проходит по вектору I _{2 k}) и к середине вектора I _{2 k} перпендикуляр (точка пересечения этих перпендикуляров лежит посередине вектора I _{2 k}, т.е. хорда, на которой строим круговую диаграмму, оказалась диаметром окружности). Проводим дугу окружности, по которой будет перемещаться конец вектора тока при изменении емкости C.

По исходным данным строим треугольник токов (известны 3 стороны треугольника – можно строить методом засечек). Так как ток I ₂ будет изменяться, а вместе с ним будет изменяться ток I ₁, направим неизменный ток I ₃ к началу вектора I ₂, т.е. . Из начала вектора проведем дугу радиусом 2 см, а из конца вектора (точка f) – дугу радиусом 7 см. Пересечение этих дуг определяет точку h. В построенном треугольнике 0fh отрезок oh изображает ток I ₃, отрезок hf – ток при отсутствии конденсатора C. После включения емкости С ток I ₂ будет изображаться отрезками og¢, og¢¢, og ¢¢¢, а ток I ₁ – отрезками hg¢, hg¢¢, hg ¢¢¢. Минимальное значение тока I ₁ будет тогда, когда отрезок og ’ направлен к центру окружности (на рис.3.21, б показано пунктиром). Из точки h проводим напряжение U параллельно току I ₂, а также ток I ₁ параллельно напряжению U. Ток I ₁ пересекает окружность в двух точках: g ¢¢¢ и g ¢¢, а так как он совпадает по фазе с напряжением, то при токе I ₁ в этих точках цепи возникает резонанс токов. Измеряя эти отрезки hg ¢¢, hg ¢¢¢, определяем значения токов при резонансе .

Для построения линии переменного параметра (ЛПП) на отрезке of откладываем отрезок oa, который изображает сопротивление в масштабе Ом/см. Затем под углом минус ψ проводим ЛПП. На ней будут изображаться сопротивления X_С в том же масштабе m_z =20 Ом/см. Продолжая ток , изображаемый отрезком og ¢, до пересечения с ЛПП, получим отрезок ab и по нему определим X_C=ab×m_z =5×20=100 Ом. Таким образом, при Ф в рассматриваемой цепи ток будет минимальным.

Дата добавления: 2014-12-27