Начальные условия

Законы (правила) коммутации

Классический метод расчета переходных процессов

Известно, что общий интеграл линейного дифференциального уравнения (ДУ) равен сумме частного решения неоднородного уравнения плюс общее решение однородного ДУ.

Частное решение определяют для установившегося режима, когда производная станет равной нулю. Его характер зависит от характера ЭДС. Если ЭДС синусоидальна, то и частное решение будет иметь аналогичный вид. Если ЭДС – постоянная, то и частное решение будет иметь вид константы. Поэтому в электротехнике частное решение называют принужденной составляющей.

Общее решение однородного ДУ (когда правая часть ДУ равна нулю) представляет собой сумму экспонент. Если ДУ первого порядка, то общее решение имеет вид Ae^pt, если ДУ второго порядка, то его вид A ₁ e^pt+A ₂ e^pt и так далее. В электротехнике общее решение ДУ называют свободной составляющей. Применительно к уравнению (5.1) полный ток во время переходного режима равен

. (5.2)

Для определения постоянных интегрирования A ₁, A ₂ и т. д. необходимо знать начальные условия, т. е. значения искомых величин при t= 0₊ (сразу после коммутации).

Применительно к уравнению (5.1), если известно значение тока i (0₊), то из уравнения (5.2) при t= 0₊

.

Для определения p составляют характеристическое уравнение. Известно несколько способов его составления. В электротехнике преимущественно используется с этой целью выражение для входного сопротивления цепи на переменном токе Z (jw), в котором заменяют jw на p и приравнивают Z (p) нулю. Решая это уравнение Z (p)=0, определяют его корни p ₁, p ₂ и т.д.

Применительно к уравнению (5.1) Z (jw) =R+jwL, Z (p) =R+pL, Z (p) = 0, p=– .

Согласно первому закону коммутации, ток через индуктивность не может измениться скачком, т.е. ток через индуктивность до коммутации равен току через индуктивность после коммутации:

i_L (0_-) =i_L (0₊).

Доказать это можно, рассматривая уравнение (5.1). Если бы ток мог измениться скачком, то , и левая часть уравнения не будет равна правой.

Иногда приходится использовать более общий закон – закон сохранения потокосцеплений: сумма потокосцеплений до коммутации равна сумме потокосцеплений после коммутации

Согласно второму закону коммутации, напряжение на емкости не может измениться скачком, т.е. напряжение на емкости до коммутации равно напряжению на емкости после коммутации:

u_c (0_-) =u_c (0₊).

Доказывается это аналогично предыдущему. Если бы была возможность изменения напряжения на конденсаторе скачком, то стремилась бы к бесконечности и в уравнении цепи, содержащей сопротивление и конденсатор, или (так как ) левая часть не была бы равна правой.

Иногда приходится использовать более общий закон сохранения заряда: заряд в цепи до коммутации равен заряду в цепи после коммутации

Значения токов через индуктивности i_L (0₊) и напряжении на конденсаторах u_C (0₊) в момент времени t =0₊ (т.е. сразу после коммутации) называют независимыми начальными условиями. Они остаются такими же какими они были до коммутации.

Начальные значения токов и напряжений на других элементах при t= 0 ₊ называют зависимыми начальными условиями. Для их определения используют независимые начальные условия и системы уравнений, составленные по первому и второму закону Кирхгофа.

П р и м е р 5. 1. Короткое замыкание цепи RL.

Чтобы определить ток i_L во время переходного процесса, составим уравнение цепи (рис. 6.1), получившейся после коммутации:

(5.3)

и решим его классическим методом. Для этого сначала определим начальные условия i_L (0₊), которые в данном случае являются независимыми и могут быть определены по схеме, имевшейся до коммутации в установившемся режиме

После этого определим принужденную составляющую тока по уравнению (5.3) (в установившемся режиме, когда производная тогда из уравнения (5.3) i_прR_k= 0 или i_пр= 0. Решение уравнения (5.3) в соответствии с классическим методом имеет вид

i (t) =i_пр+i_св= 0 +Ae^pt.

Корень характеристического уравнения определим, приравняв операторное сопротивление цепи нулю. Для этого определим комплексное сопротивление цепи Z(jω), получившейся после коммутации, и заменим в нем jω на p:

Z(p)= 0 =R+pL.

Корень характеристического уравнения .

Постоянную интегрирования определим, используя начальные условия. При t= 0 ₊

Таким образом, уравнение для переходного тока имеет вид

На рис. 5.2 приведен график переходного процесса в рассматриваемой цепи. Полученную кривую называют экспонентой. Она обладает рядом свойств, которые могут быть использованы для построения графика. Величина которая называется постоянной времени, является значимой характеристикой экспоненты. За время, равное t, экспоненциальная функция уменьшается в e= 2,73 раз. Это используется для графического построения. Отложим на оси абсцисс отрезки, равные t, 2t, 3t, над ними по оси ординат отложим значения тока, уменьшенные сначала в e раз, затем полученную ординату снова уменьшим в e раз и т.д. За время, равное 4 t переходный процесс практически завершится. Другим свойством экспоненты является то, что подкасательная к ней в любой точке экспоненты равна постоянной времени t.

П р и м е р 5.2. Подключение цепи RL под постоянное напряжение . Дифференциальное уравнение цепи (рис. 5.3) после коммутации имеет вид

Ток до коммутации был равен 0, и по первому закону коммутации он останется неизменным сразу после коммутации, т.е. i (0₊)= i (0_-)=0.

Решение дифференциального уравнения имеет вид

(5.4)

где – такой ток установится после завершения переходного процесса; p – корень характеристического уравнения

Для определения постоянной интегрирования используем начальные условия. При t= 0₊ i (0₊) = 0 и в уравнении (5.4) откуда Таким образом,

Для построения графика переходного тока на рис. 5.4 строим сначала график принужденной составляющей, затем – график свободной составляющей тока, а затем их суммируем. Напряжение на индуктивном элементе определим, дифференцируя уравнение тока

Рис. 5.4. Графики переходных процессов в цепи RL: а –зависимость i(t)

б – зависимость u_L(t)

П р и м е р 5.3. Разрыв цепи, содержащей индуктивность.

Дифференциальное уравнение цепи (рис. 5.5), получившееся после коммутации, имеет вид

. (5.5)

Для определения начальных условий учтем, что ток через индуктивность до коммутации был равен и по закону коммутации он останется таким же сразу после коммутации, т.е. . Решение уравнения (5.5) имеет вид

где

Постоянную интегрирования определим, используя начальные условия. При откуда .

Итак

Напряжение на зажимах вольтметра, имеющего обычно во много раз большее сопротивление, чем сопротивление цепи RL, резко увеличивается в первый момент времени:

т.е. при t= 0 ₊ к вольтметру будет приложено напряжение в раз больше, чем напряжение источника E, и он может выйти из строя. Это же напряжение будет приложено к обмотке, где может быть пробой изоляции. Это же напряжение будет приложено к ключу, и там возникнут пробой воздушного промежутка и искра, а при большой индуктивности будет гореть дуга до тех пор, пока запасенная в магнитном поле катушки индуктивности магнитная энергия не преобразуется в тепло в сопротивлении R и в дуге.

Чтобы исключить повышение напряжения на индуктивности при разрыве цепи, параллельно цепи RL включают диод. Диод включают таким образом, чтобы при замкнутом ключе ток через него не проходил (включить встречно), но при размыкании ключа ток цепи RL мог замкнуться через диод.

П р и м е р 5.4.. Подключение цепи RC под постоянное напряжение. Уравнение напряжений для цепи (рис. 5.6), получившейся после коммутации имеют вид iR+u_C=E.

Так как (5.6)

Начальные условия в цепи нулевые, т.е.

u_C (0₊)= u_C (0_–)=0.

Решение дифференциального уравнения

(5.6) имеет вид u_C (t) =u_Cпр+u_Cсв=E+Ae^pt,

где u_{C пр}=E – принужденная составляющая,

т.е. напряжение на конденсаторе после завершения переходного процесса. Характеристическое уравнение получим методом входного сопротивления Откуда p = 1/ RC Постоянную интегрирования определим, используя начальные условия. При t= 0 ₊ u_C (0₊)=0= u_Cпр (0₊)+ u_Cсв (0₊)= Ae ⁰. Откуда A= –E.

Итак

Переходный ток

Графики переходного тока и напряжения на конденсаторе представлены на рис. 5.7.

Рис. 5.7. Графики в переходных процессов в цепи RC:

а – зависимость i(t); б – зависимость u_C(t)

П р и м е р 5.5. Включение цепи RC под переменное напряжение

Дифференциальное уравнение и начальные условия цепи аналогичны уравнению (5.6)

Аналогично предыдущему определяется и корень характеристического уравнения

Принужденная составляющая напряжения на конденсаторе u_Cпр, т.е. то напряжение, которое установится после завершения переходного процесса, рассчитывается сначала в комплексной форме:

где , а затем записывается его мгновенное значение

Свободная составляющая напряжения на конденсаторе имеет вид

Постоянная интегрирования определяется при использовании начальных условий. При t= 0 ₊

u_C= (0₊) = 0 =u_Cпр (0₊) +u_Cсв (0₊) =U_Cm sin q+Ae ⁰.

Отсюда A=–U_Cm sin q.

Таким образом, переходное напряжение на конденсаторе имеет вид (рис. 5.8, а)

На рис. 5.8, б видно, что напряжение на конденсаторе u_C (t) во время переходного режима может превысить амплитуду напряжения на конденсаторе при установившемся режиме U_Cm, но не более чем в 2 раза. Наибольшее превышение может быть, когда угол или когда начальная фаза напряжения сети y (определяемая моментом включения рубильника) равна углу сдвига фаз j между напряжением и током при установившемся режиме, т.е. y=j. При свободная составляющая напряжения равна нулю, и в цепи сразу наступает установившийся режим.

Переходный ток в цеп и равен

Полученное выражение для тока объясняет возникновение больших толчков тока при включении ненагруженной линии электропередачи, имеющей схему замещения, представленную на рис. 5.8, в.

При включении цепи RL под синусоидальное напряжение, уравнение и график переходного тока будут аналогичны уравнению и графику напряжения на конденсаторе:

где При этом, как и в рассмотренном случае, ток i(t) во время переходного режима может превысить амплитуду i_m установившегося тока после завершения переходного режима, но не более чем в 2 раза. Наибольшее превышение может быть, когда угол Аналогично, при y + j = 0 свободная составляющая тока равна нулю, и в цепи сразу наступает установившейся режим.

П р и м е р 5.6. Разряд конденсатора на цепь RL.

Дифференциальное уравнение цепи (рис. 5.9) имеет вид

так как ,

то .

Начальные условия u_C (0_–)= u_C (0₊)= U ₀, i (0_–)= i (0₊)=0. Характеристическое уравнение составим методом входного сопротивления

Корни характеристического уравнения

могут быть трех видов в зависимости от значения подкоренного выражения:

А. Апериодический разряд конденсатора происходит при >0, т.е. при R>R_кр, где R_кр= – критическое сопротивление. При этом корни p ₁и p ₂ различны и

Учитывая начальные условия, определим постоянные интегрирования A ₁и A ₂. При

Отсюда

Таким образом,

По этим уравнениям построены графики на рис. 5.10

Отметим, что кривая u_L (t)пересекает ось абсцисс в точке, когда ток i (t) достигает максимума. При этом

Б. Колебательный разряд конденсатора происходит при т.е. при При этом корни характеристического уравнения – комплексные сопряженные:

где

Переходное напряжение на конденсаторе

), а ток

Используя начальные условия, определим A и y. При t =0₊

u_C (0₊) =U ₀ =A sin y, i (0₊) = 0 =AC [– d sin y+w cos y ].

Решая совместно полученные уравнения, определим

Таким образом, ,

На рис. 5.11 представлены графики затухающих колебаний i (t), u_C (t),построенные по полученным выше уравнениям. Быстроту затухания таких колебаний характеризуют отношением двух последующих амплитуд, которое называют – декрементом колебаний

Часто используют и другую величину, называемую логарифмическим декрементом колебаний

В. Предельный случай апериодического разряда происходит при , т.е. при и кратных корнях характеристического уравнения. В этом случае определяют свободную составляющую напряжения на конденсаторе по уравнению

u_Cсв= (A ₁+ A ₂ t) e^pt. При этом ток

При t= 0₊ u_C (0) =U ₀ = (A ₁+0) e ⁰, i (0)=0= C (A ₂+ pA ₁+0) e ⁰. Отсюда А ₁ =U ₀; A ₂ =–pA ₁ =–pU ₀; u_C (t) = (U ₀– pU ₀ t) e^pt=U ₀(1– pt) e^pt;

Графики этих величин по форме не отличаются от приведенных на рис. 5.10.

П р и м е р 5.7. Включение цепи RLC под постоянное напряжение.

Дифференциальное уравнение цепи имеет вид

, т. е. .

Начальные условия u_C (0₊)=0, i (0₊)=0.

Принужденные составляющие u_Спр=E, i_пр= 0.

Характеристическое уравнение

Корни этого уравнения, как и в предыдущем случае, могут быть трех видов: различные, кратные и комплексные. В соответствии с этим рассмотрим 3 режима:

1. Апериодический процесс происходит при

(когда корни различные). При этом

На рис. 5.12, а представлены графики, построенные по этим уравнениям.

Рис. 5.12. Графики переходных процессов при подключении цепи RLC

под постоянное напряжение: а – при апериодическом процессе; б – при

затухающих колебаниях

2. Предельный случай апериодического процесса (критический) происходит при (когда корни кратные).

При этом

Используя начальные условия u_C (0₊)=0, i (0₊)=0, определяем A ₁и A ₂: .

Графики этих уравнений аналогичны графикам на рис. 5.12, а.

3. Затухающие колебания происходят при (когда корни комплексные). При этом u_C (t) =u_Cпр+u_Cсв=E+Ae^–dt sin(wt+y),

.

Используя начальные условия u_C (0₊)=0, i (0₊)=0, определяем A и y. При этом ,

.

На рис. 5.12, б представлены графики, построенные по этим уравнениям. Отметим, что напряжение на конденсаторе во время переходного процесса может превысить напряжение источника, но не более чем в 2 раза.

Дата добавления: 2014-12-27