Системная функция цифрового четырехполюсника

Аналогично передаточной функции четырехполюсника K(p)=F₂(p)/F₁(p) вводят понятие системной функции (или передаточной функции) цифрового четырехполюсника

K(z)=F₂(z)/F₁(z),

которая определяется при нулевых начальных условиях.

Дискретный сигнал, записанный через смещенные дискретные импульсы ,

имеет z -преобразование ,

и его с учетом теоремы запаздывания можно записать в операторной форме: .

Сравнивая F (z) и F (p), определяем .

Учитывая характер комплексной частоты p=s+jw, из последних уравнений определим

.

Кроме рассмотренных аналогий z -преобразований и операторного метода, отметим еще одну аналогию между системной функции (или передаточной функции) цифрового четырехполюсника и передаточной функцией K (p) для аналоговых цепей. Так же, как в аналоговых цепях, z -изображение реакции равно произведению системной функции и z -изображения входного сигнала F ₂(z)= K (z) F ₁(z).

При этом если входное воздействие представляет собой дискретный импульс F ₁(z)=1, то реакцией является дискретная импульсная характеристика h ¢(nT), т.е. F ₂(z)= K (z)×1= K (z)«h ¢(nT).

Таким образом, системная функция цифрового четырехполюсника является изображением дискретной импульсной характеристики.

Кроме того, так как в соответствии с теоремой свертки реакцию цепи в t -области можно получить перемножением дискретных воздействий и импульсной характеристики, то умножению z -изображений K (z)× F ₁(z) соответствует дискретная свертка

F₂(z)=K(z)F₁(z) «.

Преобразование передаточной функции K(p) в системную K(z)

Известны два способа преобразования. Если можно представить передаточную функцию в виде суммы , то системную функцию получают по известной формуле для суммы экспонент

.

Этот способ называют методом инвариантности переходной характеристики.

Второй метод называют методом билинейного преобразования. Он заключается в том, что в K (p) заменяют величину p на величину . Эта замена может быть обоснована так: возьмем натуральный логарифм равенства Z=e^pT, получим ln z=pT, разложим ln z в ряд и возьмем первый член ряда ln z =2(). Отсюда

p = .

Рассмотрим эти методы на примерах.

Пусть у аналогового прототипа

По первому методу

,

по второму методу

При использовании второго метода частотная характеристика исходного фильтра-прототипа сохраняется с некоторым изменением масштаба по оси частот.

Дата добавления: 2014-12-27