КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентамиЛинейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка c постоянными коэффициентами – это уравнение y′′ + py′ + qy = 0 (7), где p и q – постоянные величины. Общее решение дифференциального уравнения второго порядка имеет вид y = φ(x; c1, c2), где c1, c2 - некие постоянные величины. Частное решение y = φ(x; c10, c20) получается из общего решения при выполнении начальных условий , . Общее решение уравнения (7) зависит от решений характеристического уравнения k² + pk + q = 0. Характеристическое уравнение получается из дифференциального уравнения (7) подстановкой функции . 1) Если корни k1 и k2 характеристического уравнения действительные и различные, то . 2) Если корни k1 и k2 характеристического уравнения действительные и равные, то . 3) Если корни k1 и k2 характеристического уравнения комплексные (k1 = α + β i, k2 = α – β i), то . @ Задача 1. Найти общее решение дифференциального уравнения: y′′ – 2y′ + y = 0. Решение: Корни k1 и k2 характеристического уравнения k ² – 2k + 1 = 0 действительные и равны 1. Общее решение дифференциального уравнения имеет вид: . Линейное однородное дифференциальное уравнение n -го порядка с постоянными коэффициентами Линейное однородное дифференциальное уравнение n -го порядка с постоянными коэффициентами – это уравнение , где p1, p2, …, pn – постоянные величины. 1) Если все корни характеристического уравнения действительные и различные, то общее решение имеет вид . 2) Если все корни характеристического уравнения действительные, но не все различные (с кратностью m), то общее решение содержит частные решения , , … . 3) Если какая-либо пара сопряженных комплексных корней имеет кратность m, то решение содержит частные решения cosbx, x cosbx, …, cosbx, sinbx, x sinbx, …, sinbx. @ Задача 2. Найти общее решение дифференциального уравнения: . Решение: Корни характеристического уравнения равны – 1; 1; 1 + 2i и 1 – 2i. Общее решение дифференциального уравнения имеет вид: . Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами y′′ + py′ + qy = f(x), где p и q – постоянные коэффициенты, f(x) - правая часть уравнения, имеющая специальный вид. Общее решение дифференциального уравнения представляет собой сумму общего решения y общсоответствующего однородного уравнения и частного решения y чнеоднородного уравнения. Рассмотрим случай, когда f(x) имеет специальный вид f(x) = Pn(x) , где Pn(x) – многочлен степени n, a – действительное число. В этом случае частное решение неоднородного дифференциального уравнения ищется как y ч = xrQn(x) , где r – число равное кратности a как корня характеристического уравнения k ² + pk + q = 0, Qn(x) – многочлен степени n с неопределенными коэффициентами, которые нужно найти. @ Задача 3. Найти общее решение дифференциального уравнения: . Решение: Сначала находим общее решение однородного дифференциального уравнения. Характеристическое уравнение k² + 1 = 0 имеет корни i и – i. Общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид yобщ = c1cosx + c2sinx. Корни характеристического уравнения не совпадает с a = 1, поэтому r = 0. Частное решение неоднородного дифференциального уравнения ищется в виде yч = (Ax + B) . Для нахождения A и B это решение подставляется в неоднородное дифференциальное уравнение. Ax + 2A + B + Ax + B = 4x, откуда A = 2, B = – 2. Частное решение имеет вид yч = 2(x – 1)ex. Общее решение неоднородного дифференциального уравнения равно y = c1cosx + c2sinx + 2(x – 1) ex. Рассмотрим случай, когда f(x) = (Pn(x)cos β x + Qm(x)sin β x), где Pn(x) и Qm(x) – многочлены степени n и m, α и β - действительные числа. В этом случае частное решение неоднородного дифференциального уравнения ищется в виде y ч = xr (M(x)cos β x + N(x)sin β x), где M(x) и N(x) многочлены степени max(m, n).
§3.9. Числовые ряды
Числовые ряды Числовым рядом называется бесконечная сумма чисел (1), где - общий член ряда. Конечная сумма чисел называется частичной суммой ряда. Если S n стремится к конечному пределу S, то говорят, что ряд сходится, а предел называется суммой ряда. Если предел ряда не существует или , то говорят, что ряд расходится. ! Пример: Числовой ряд сходится и сумма равна S = 1. Ряд с an = n расходится. Ряд с an = (– 1)n тоже расходится. Свойства рядов 1. Если ряд (1) сходится и его сумма равна S, то ряд также сходится и его сумма равна cS. 2. Если ряд (1) и ряд сходятся, то сходятся также их сумма и разность. 3. Если к ряду (1) прибавить (или отбросить) конечное число членов, то полученный ряд и ряд (1) сходятся или расходятся одновременно. Ряд геометрической прогрессии Числовой ряд называется суммой геометрической прогрессии, если (q – знаменатель прогрессии). Ряд геометрической прогрессии при q < 1 сходится, а при q > 1 расходится. Сумма геометрической прогрессии при q < 1 равна S = b/(1 – q). Это известная формула бесконечно убывающей геометрической прогрессии. @ Задача 1. Найти сумму 1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + ··· Решение: Данный числовой ряд - это сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии с b = 1 и q = 1/3. Следовательно, сумма ряда равна S = 1/(1 – 1/3) = 1,5. Необходимый признак сходимости числового ряда Необходимый признак сходимости числового ряда определяется теоремой. Теорема. Если ряд (1) сходится, то его общий член an стремится к нулю: (2). Теорема дает необходимое условие сходимости ряда, но не достаточное, т.е. из условия (2) не следует, что ряд сходится. В частности, гармонический ряд 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ··· расходится, хотя для него выполняется условие (2). Ряд называется положительным, если все члены ряда положительные. Достаточными признаками сходимости положительного числового ряда являются признак сравнения рядов, признак Даламбера, признак Коши и интегральный признак Коши. Признак сравнения рядов Сходимость такого ряда устанавливается путем сравнения его с другим (эталонным) рядом. Если ряд , общие члены которого , сходится, то сходится также ряд (1). Если ряд , общие члены которого , расходится, то расходится также ряд (1). @ Задача 2. Исследовать на сходимость числовой ряд . Решение: По признаку сравнения рядов, так как ряд сходится, а также выполняется условие , следовательно, наш ряд тоже сходится. @ Задача 3. Исследовать на сходимость числовой ряд . Решение: Согласно признаку сравнения т.к. , и гармонический ряд расходится, то приведенный ряд также расходится. Признак Даламбера Ряд сходится, если . Если предел больше 1, то ряд расходится. Если предел равен 1, то ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся. Признак Даламбера целесообразно применить, когда общий член ряда содержит выражение вида n! или . @ Задача 3. Исследовать на сходимость ряд . Решение: По признаку Даламбера , т.е. ряд сходится. Признак Коши Ряд сходится, если . Если предел больше 1, то ряд расходится. Если предел равен 1, то ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся. Признак Коши целесообразно применить, когда общий член ряда содержит выражение вида . @ Задача 4. Исследовать на сходимость ряд . Решение: По признаку Коши , т.е. ряд сходится. Интегральный признак Коши Теорема: Если каждый член положительного ряда меньше предшествующего, то: а) если предел конечный, то ряд (1) сходится, б) если предел бесконечный, то ряд (1) расходится. @ Задача 5. Исследовать на сходимость гармонический ряд . Решение: Из интегрального признака Коши следует, что ряд расходится. Ряд называется знакопеременным, если его члены поочередно положительны и отрицательны. Достаточным признаком сходимости знакопеременного числового ряда являются признак Лейбница. Признак Лейбница Знакопеременный ряд сходится, если его члены стремятся к нулю, все время убывая по абсолютному значению. ! Пример: Знакопеременный ряд 1 – 1/2 + 1/3 – 1/4 + ··· сходится согласно признаку Лейбница. Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится положительный ряд, составленный из абсолютных значений членов данного ряда. ! Пример: Знакопеременный ряд 1 – 1/4 + 1/9 – 1/16 + ··· является абсолютно сходящимся. Знакопеременный рядможет сходиться и тогда, когда ряд, составленный из абсолютных значений его членов, расходится. Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если он сходится, но ряд, составленный из абсолютных значений его членов, расходится. ! Пример: Знакопеременный ряд 1 – 1/2 + 1/3 – 1/4 + ··· является условно сходящимся.
Дата добавления: 2014-12-27; Просмотров: 655; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |