Общие сведения об открытой одноканальной СМО с ожиданием

Работу открытой одноканальной СМО с ожиданием можно проиллюстрировать с помощью графа переходов системы из одного состояния Е_n в другое (рисунок 4.3). Как упоминалось в описании к лабораторной работе 4.1, под термином техническоесостояние Е_n понимают совокупность подверженных изменению в процессе производства или эксплуатации свойств объекта, характеризуемую в определённый момент признаками, установленными технической документацией. Втехническомсостоянии Е_п в СМО находится п заявок на обслуживание. На рисунке 4.3 стрелки обозначают вероятности переходов системы из одного состояния Е_n в другое.

Рисунок 4.3 – Граф переходов открытой одноканальной СМО

с ожиданием из одного состояния Е_n в другое

Вероятности Р_пп того, что система не изменит свое состояние Е_п, не влияют на вероятности состояний. Поэтому на графах переходов обычно указывают только вероятности переходов типа Р_{п , п +1} и Р_{п , п -1}, и только интенсивности переходов (рисунок 4.4). Такой граф называется схемой гибели и размножения.

Рисунок 4.4 – Граф переходов открытой одноканальной СМО

с ожиданием из одного состояния Е_n в другое,

изображённый в виде схемы гибели и размножения

Составим дифференциальные уравнения по виду графа состояний, изображённого в виде схемы гибели и размножения, по инженерному правилу А.Н. Колмогорова:

«Производная от вероятности пребывания системы в любой момент времени в состоянии k равна алгебраической сумме произведений интенсивностей переходов в k -ое состояние (или из k -ого состояния) на вероятность того состояния, откуда совершается переход в k -ое состояние. Причем, тем слагаемым, которым соответствуют уходящие стрелки из k -ого состояния, приписывается знак «минус», а входящим – «плюс».

; (4.19)

………………………………..

. (4.20)

Для стационарного режима:

(4.21)

и система дифференциальных уравнений преобразуется в систему линейных уравнений:

0 = -λ× P ₀ + μ× P ₁; (4.22)

0 = λ× P ₀ – (λ + μ)× P ₁ + μ× P ₂. (4.22а)

……………………………..

0 = λ× P_{п -1} – (λ + μ)× P_п + μ× P_{п +1}. (4.23)

Откуда ; и .

Учитывая, что:

, (4.24)

получаем:

, (4.25)

; (4.26)

P_п = (1 – a)×a ^п; п = 1, 2, …(4.27)

Параметр a = λ/μ выражает среднее число заявок, приходящихся на среднее время обслуживания одной заявки, то есть степень насыщения в системе и называется загрузкой или коэффициентом использования СМО. Для одноканальных СМО при a > 1 установившегося режима не существует, и очередь растет неограниченно. Получим статистические характеристики открытой одноканальной СМО с ожиданием [28].

Среднее чисто заявок в системе:

. (4.28)

Среднее число занятых каналов:

.(4.29)

Среднее число заявок N _ОЖ, находящихся в очереди на обслуживание:

.(4.30)

Дата добавления: 2014-12-27