Основные понятия и определения. Методическое пособие по математике для студентов II курсов всех специальностей

Комплексные числа

Введение

Будыгина О.В.

Методическое пособие по математике для студентов II курсов всех специальностей

Пособие адресовано студентам II курса очного отделения всех специальностей для подготовки к практическим занятиям по математике. В него включен справочный материал основных тем по математике, исходные данные для проведения практических занятий.

Содержание

Введение. 4

1 Комплексные числа. 5

1.1 Методические указания по теме «Комплексные числа». 5

1.2 Исходные данные по теме «Комплексные числа». 13

2 Производная и её приложения. 19

2.1 Методические указания по теме «Производная и её приложения». 19

2.2 Формулы дифференцирования. 32

2.3 Исходные данные по теме «Производная и её приложения». 33

3 Интеграл и его приложения. 47

3.1 Методические указания по теме «Интеграл и его приложения». 47

3.2 Таблица неопределённых интегралов. 68

3.3 Исходные данные по теме «Интеграл и его приложения». 69

4 Дифференциальные уравнения. 76

4.1 Методические указания по теме «Дифференциальные уравнения». 76

4.2 Исходные данные по теме «Дифференциальные уравнения». 84

5 Теория вероятностей. 89

5.1 Методические указания по теме «Теория вероятностей». 89

5.2 Исходные данные по теме «Теория вероятности». 93

Список использованных источников. 99

В процессе выполнения практических занятий студенты II курса испытывают определенные трудности. Цель методического пособия: помочь студентам всех специальностей в подготовке и проведении практических занятий. Методическое пособие содержит необходимый минимум теоретического материала и написано с учетом реальных возможностей студента техникума по самостоятельному усвоению материала.

В методическом пособии содержится большое число подробно разобранных примеров, иллюстрирующих применение фактического материала. Примеры подобраны таким образом, чтобы студент мог опереться на способы решения задач при выполнении практического занятия по дисциплине Математика.

Методическое пособие содержит также необходимые таблицы и исходные данные. Студент любой специальности может выполнить свое практическое занятие самостоятельно, воспользовавшись данным пособием.

1.1 Методические указания по теме «Комплексные числа»

Решение многих задач сводится к решению алгебраических уравнений. Поэтому исследование алгебраических уравнений является одним из важнейших вопросов математики. Стремление сделать уравнение разрешимым – одна из главных причин расширения понятия числа.

Так, для разрешимости уравнения положительных чисел недостаточно и приходится вводить отрицательные числа и ноль.

Для решения уравнения недостаточно целых чисел и приходится вводить дробные. Целые и дробные числа образуют множество Q рациональных чисел.

На множестве рациональных чисел разрешимы уравнения вида , однако уравнение не имеет рациональных корней. Необходимость решения таких уравнений явилась одной из причин введения иррациональных чисел.

Рациональные и иррациональные числа образуют множество R действительных чисел.

Однако и действительных чисел недостаточно для того, чтобы решить любое алгебраическое уравнение. Например, уравнение не имеет действительных корней. Поэтому приходится расширять множество действительных чисел до нового множества, такого, чтобы в этом множестве уравнения вида имели решения.

Корень уравнения или называется мнимой единицей и обозначается буквой .

Таким образом, символ удовлетворяет условию .

Комплексным числом называется выражение вида , где и – действительные числа, а – мнимая единица.

Число называется действительной частью комплексного числа, а число – мнимой частью.

Комплексное число часто обозначают буквой .

Множество комплексных чисел принято обозначать буквой C.

Запись комплексного числа в виде называется алгебраической формой записи комплексного числа.

Два комплексных числа и называются равными тогда и только тогда, когда и , т.е. когда равны их действительные части и коэффициенты при мнимой части.

Понятие «больше» и «меньше» для комплексных чисел не определяются.

Комплексное число называется нулём и обозначается 0; комплексное число отождествляется с действительным числом , т.е. ; комплексное число называется чисто мнимым и обозначается , т.е. .

Число 0 является единственным числом, которое одновременно и действительное и чисто мнимое.

Комплексные числа и называется сопряженными.

Дата добавления: 2014-12-27