Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка




Общий вид такого уравнения:

(1),

где и – заданные функции от . Это уравнение является линейным относительно искомой функции и её производной.

Если , то линейное дифференциальное уравнение (1) называется однородным. Оно имеет вид и решается методом разделения

переменных:

.

.

,

где – некоторая первообразная функции , а – произвольная постоянная.

Если , то уравнение (1) принимает вид и решается методом разделения переменных:

где – некоторая первообразная функции , а – произвольная постоянная.

Существуют различные приемы решения линейного неоднородного дифференциального уравнения. Рассмотрим два из них.

Способ 1. Этот прием решения основан на применении следующей т е о р е м ы: если – некоторое решение уравнения (1), то все решения этого уравнения задаются формулой:

,

где – общее решение однородного уравнения. Иными словами, для нахождения общего решения уравнения (1) достаточно найти хотя бы одно его частное решение.

Пример 4. Найти общее решение дифференциального уравнения: .

Ре ш е н и е. Подбором находим, что функция является решением данного линейного неоднородного уравнения.

1 Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

где .

Общее решение данного уравнения имеет вид:

Способ 2. Этот прием решения основан на простом замечании, что любую величину (переменную или постоянную) можно представить в виде произведения двух множителей: , причем один из них можно выбрать произвольно (лишь бы он был отличен от нуля).

Например, в равенстве можно взять , тогда .

Можно взять , тогда и т. д.

Решение линейного неоднородного дифференциального уравнения будем искать в виде где и – функции от .

Пример 5. Найти общее решение дифференциального уравнения:

.

Р е ш е н и е. Данное уравнение является линейным. Полагаем , тогда и уравнение преобразуется к виду: или

Так как один множитель можно выбрать произвольно, то выберем в качестве какой-либо частный интеграл уравнения Тогда для отыскания получим уравнение .

Решим уравнение ; имеем

В качестве выбран частный интеграл уравнения при .

Подставляя значение во второе уравнение и решая его, найдем , как общий интеграл этого уравнения:

.

Зная и , находим искомую функцию :




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-12-27; Просмотров: 456; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.011 сек.