Дифференциальные уравнения второго порядка

Если дифференциальное уравнение содержит производную или дифференциал не выше второго порядка, то оно называется дифференциальным уравнением второго порядка.

Общий вид такого уравнения:

где – искомая неизвестная функция, и – ее производные по первого и второго порядков, а – заданная функция переменных

Общим решением дифференциального уравнения второго порядка называется функция от и двух произвольных постоянных и , обращающая это уравнение в тождество по .

Общее решение, записанное в неявном виде , называется общим интегралом.

Частным решением уравнения называется решение, полученное из общего решения при фиксированном значении и : , где и – фиксированные числа.

Частным интегралом этого уравнения называется интеграл, полученный из общего интеграла при фиксированном значении и : , где и – фиксированные числа.

Общее решение дифференциального уравнения можно рассматривать как семейство интегральных кривых данного уравнения, которое зависит от двух параметров и . Частному решению, полученному из общего, соответствует одна кривая этого семейства.

Задача Коши для дифференциального уравнения второго порядка состоит в том, чтобы найти решение, удовлетворяющее начальным условиям . Постоянные и определяются из системы уравнений:

Другими словами, из всех интегральных кривых данного дифференциального уравнения требуется выделить интегральную кривую, проходящую через данную точку в заданном направлении .

Дата добавления: 2014-12-27