Теплоизолированный с правого торца двумерный стержень с теплообменом с боковой поверхности

В третьем случае рассмотрим двумерное распределение теплоты по стержню, т.е. температура меняется по длине стержня и по его ширине.

Рис.4.7. Стержень с двумерным растеканием теплоты.

На рисунке 4.7. представлен стержень с двумерным растеканием теплоты.

Рисунок 4.8. Тепловая схема двумерного стержня, с теплообменом с боковой поверхности

Введем данные, необходимые для расчета.

· Длина: l=0.1m;

· Толщина: δ=0.02m;

· Температуры среды: T_{a 1}=400 ⁰С, T_{a 2}=50⁰С, Т_{а 3}=500 ⁰С;

· Коэффициенты теплоотдачи:

1. C левого торца стержня: α1=100 ;

2. У боковой поверхности: α2=2000 ;

3. У правого торца стержня: α3=1500 ;

· Коэффициент теплопроводности материала: λ1=50

Задаем направления тепловых потоков, как показано на рисунке 4.7. и запишем баланс этих потоков:

т.1) Q1+Q4+Q10-Q13=0 т.6) –Q6+Q9+Q17+Q20=0

т.2) Q2+Q5+Q13-Q16=0 т.7) –Q7+Q12-Q15=0

т.3) Q3+Q6+Q16+Q19=0 т.8) –Q8+Q15-Q18=0

т.4) –Q4+Q7+Q11-Q14=0 т.9) –Q9+Q18+Q21=0

т.5) –Q5+Q8+Q14-Q17=0

Тепловой поток Q берем со знаком: “+”, если он выходит из узла; “- “, если поток входит в узел.

Составляем матрицу инциденции А, число строк которой равно N, а число столбцов равно М. Элемент iq матрицы А равен: +1, если ветвь q соединена с узлом i и тепловой поток в ветви выходит из i-го узла; -1, если ветвь q соединена с узлом i и тепловой поток в ветви входит в i-й узел; 0, если ветвь q не соединена с узлом i.

Составляем матрицу проводимостей G, число строк и столбцов которой равно М. Матрица G диагональная и ее диагональные элементы ii равны тепловым проводимостям ветвей g_i, i=1,2,…,М.

Разность температуры ΔТ_i в i-й ветви, включенной между узлами 1 и 2 равна ΔТ_i = T₁ – T₂ (поток теплоты направлен от узла 1 к узлу 2). Разности температур в ветвях графа (рис. 4.7.) можно представить в виде вектора столбца ΔТ.

Далее составляется вектор – столбец Т_а известных температур в независимых источниках температур, с числом элементов равным М. Элемент i вектора – столбца Т_а равен: нулю, если данная ветвь i не содержит источника температуры; заданной температуре T_ai, если ветвь i содержит источник температуры T_ai. Если направление потока в ветви соответствует положительному направлению, то величина T_ai, берется со знаком (+), если отрицательному – со знаком (-).

Вектор – столбец неизвестных температур в узлах тепловой схемы

определяется матричным уравнением:

AGA^TT=AGT_a

т.к. матрицы А,G,A^T известны, то заменим их одним символом:

тогда окончательный вид уравнения для расчета температур в узлах стержня примет вид:

Полученный результат получаем в виде матрицы температур:

Дата добавления: 2014-12-27