Графическое сравнение зависимостей результата игры от вероятности применения первым игроком чистых стратегий – выявление активных стратегий второго игрока

Замечания

При реализации этого приема используются непрерывные кусочно-линейные платежные функции, однако такую игру можно считать конечной, потому что её условия по-прежнему задаются платежной матрицей.

Многоактная игра, если только известно, что один из игроков имеет лишь две активные стратегии, допускает следующую интерпретацию. Указанный игрок выбирает вероятности применения двух своих активных стратегий (сохраняя конкретные решения для каждого акта взаимодействия в тайне), а другой игрок – лишь состав активных стратегий. Полное выявление множества активных стратегий в игре позволяет получить решение для обоих игроков, не только состав, но и вероятности применения активных стратегий.

Для неактивных стратегий эти вероятности равны нулю; в играх с «седловой» точкой лишь пара чистых стратегий применяется с вероятностями, равными единице; в остальных конечных играх эти вероятности принимают промежуточные значения, дополняющие друг друга до единицы.

Введем обозначения: x ₁ – вероятность применения Получателем стратегии А 1, т. е. доля случаев, когда Получатель намеревается использовать стратегию А 1 в общем количестве проводимых игр. Аналогично, x ₂ – вероятность применения Получателем стратегии А 2; она непосредственно связана с x ₁ соотношением x ₁ + x ₂ =1. Например, если в каждой сотне игр Получатель собирается использовать стратегию А 1 63 раза, то x ₁ = 0,63; стратегия А 2 будет использована 37 раз и x ₂ = 0,37.

Допустим, что Плательщик наряду с другими своими стратегиями достаточно много раз применяет стратегию В 1. Тогда платежи определяются первым столбцом платежной матрицы, средняя величина m _{B 1} таких платежей может быть вычислена

где a ₁₁ и a ₂₁ – элементы первого столбца платежной матрицы.

Данная зависимость – линейная, на координатной плоскости (по оси абсцисс отложена x ₂, а по оси ординат – средняя величина платежа) ей соответствует отрезок прямой, соединяющий точки (0; a ₁₁) и (1; a ₂₁).

Таким образом, каждая стратегия второго игрока отображается одним отрезком на плоскости. Если одна из стратегий является заведомо невыгодной для Плательщика по сравнению с другой, то весь соответствующий отрезок расположен выше другого отрезка. Отрезки, отвечающие предпочитаемым Плательщиком стратегиям, пересекаются между собой и образуют ломаную кривую, под которой нет других отрезков.

Как и в случае с однократным взаимодействием, Получатель заинтересован в максимизации среднего (по серии игр) наименьшего из возможных платежей и может использовать для этого выбор вероятности применения своих двух стратегий. Точка (x _2опт; n) соответствует одной из точек пересечения отрезков, характеризующих чистые стратегии Плательщика. Гарантией того, что своим выбором стратегии Плательщик не может уменьшить величину среднего платежа, является наглядный факт: ниже данной точки не расположен ни один отрезок.

С учетом найденной смешанной стратегии Получателя можно выделить стратегии, которые будут использованы Плательщиком в его смешанной стратегии – именно соответствующие им отрезки проходят через точку (x _2опт; n).

Пример 4а. Требуется приближенно определить смешанную стратегию Получателя и цену игры, выявить состав смешанной стратегии Плательщика и провести упрощение данной платежной матрицы (без заведомо невыгодных стратегий).

	В 1	В 2	В 3
А 1
А 2

Решение

1. Найдем точки для построения графика.

	В 1 (m = 7 – 2 x 2)	В 2 (m = 2 + 5 x 2)	В 3 (m = 8 – 4 x 2)
x 2 = 0 x 2 = 1	(0; 7) (1; 5)	(0; 2) (1; 7)	(0; 8) (1; 4)

2. Выполним графическое построение

3. По результатам построения сделаем выводы.

Нижний край фигуры, под которым нет уже никаких отрезков, образован отрезками, соответствующими стратегиям Плательщика В 2 (слева) и В 3 (справа). Эти отрезки пересекаются в точке М.

Наивысшая точка описанной выше ломаной – точка М с примерными координатами (0,65; 5,3). Она является точкой пересечения отрезков, соответствующих стратегиям Плательщика В 2 и В 3, значит, эти стратегии являются активными.

Применение стратегии А 1 с вероятностью x _1опт» 1 – 0,65 = 0,35 и стратегии А 2 с вероятностью x _2опт» 0,65 гарантирует Получателю средний платеж в размере n» 5,3 (или больше).

Стратегия В 1 использоваться Плательщиком не будет, так как (при найденной смешанной стратегии Получателя) средняя величина платежа в таких актах взаимодействия окажется больше значения n» 5,3, что ему не выгодно. Смешанная стратегия Плательщика состоит в сочетании его чистых стратегий В 2 и В 3. Таким образом, достигнуто упрощение условий задачи, и из платежной матрицы можно вычеркнуть столбец, соответствующий стратегии B 1 (он выделен в таблице).

	В 1	В 2	В 3			В 2	В 3
А 1				~	А 1
А 2					А 2

Ответ:

– вероятности применения стратегий Получателя x _1опт » 0,35 и
x _2опт» 0,65;

– цена игры n» 5,3;

– смешанная стратегия Плательщика состоит в применении его чистых стратегий В 2 и В 3, они являются активными (столбец, соответствующий стратегии Плательщика В 1, можно исключить из платежной матрицы, так как эта стратегия не является активной).

Дата добавления: 2014-12-27