Разумные запасы

Орлянка

Камень, ножницы, бумага

Два игрока одновременно предъявляют соответствующую комбинацию. «Камень» тупит «ножницы», «ножницы» режут «бумагу», «бумага» оборачивает «камень», то есть «камень» выигрывает у «ножниц», но проигрывает «бумаге», «ножницы» выигрывают у «бумаги», но проигрывают «камню», «бумага» выигрывает у «камня», но проигрывает «ножницам». При одинаковых комбинациях розыгрыш происходит повторно.

Каждый игрок имеет три стратегии: А_К, А_Н, А_Б и В_К, В_Н, В_Б Сумму выигрыша возьмем равной одной условной единице. Тогда платежная матрица имеет следующий вид:

	ВК	ВН	ВБ
АК			– 1
АН	– 1
АБ		– 1

Решение игры (смешанная стратегия) очевидно из симметрии задачи: каждую стратегию обоим игрокам рекомендуется применять в 1/3 всех случаев, при этом средний выигрыш будет приближаться к нулю. Верхняя и нижняя цены игры реализуются при применении любой стратегии.

Возможна альтернативная формулировка условия этой игры. У двух игроков – по три карты: «Камень», «Ножницы», «Бумага». Они кладут по одной карте перед банкиром, который открывает карты и выдает выигрыш. Игра является справедливой.

Два игрока договариваются о том, кто из них получит выигрыш с случае выпадения «орла» (герба) монеты, а кто – при выпадении «решки» (аверса). После броска монеты соответствующий игрок получает выигрыш.

Так как результат игры для каждого игрока зависит не от воли другого игрока, но от результата, получаемого при броске монеты, данную игру следует считать двумя связанными «играми с природой». Проигрыш второго игрока равен выигрышу первого, полностью определяется им и отдельно не рассматривается.

Первый игрок имеет две стратегии: назвать (по договоренности с вторым игроком) «Орел» (стратегия А_О) или «Решка» (стратегия А_Р). Стратегии «Природы» обозначим, соответственно, П_О и П_Р. Тогда платежная матрица имеет следующий вид:

	ПО	ПР
АО		– 1
АР	– 1

Если считать монету симметричной и вероятности стратегий «Природы» одинаковыми, то решение игры (смешанная стратегия) – каждую стратегию игроку рекомендуется применять в половине всех случаев, при этом средний выигрыш будет приближаться к нулю. Нижняя цена игры реализуются при применении любой стратегии.

На складе находится резерв товара I единиц. Спрос на товар – случайная величина, которая характеризуется непрерывной функцией распределения f (x), где х – количество товара, которое может быть запрошено со склада. При отсутствии товара фирма терпит убыток, хранение излишних запасов также невыгодно. Требуется определить приемлемое количество товарного резерва из следующего условия: средний дефицит не должен превосходить величины А₁, а профицит – величины А₂, которые можно связать со средними убытками от дефицита и профицита.

Данная игра является «игрой с природой», поведение которой характеризуется непрерывной функцией. Построим функцию величины дефицита, как зависимости от значения I:

Математическое ожидание величины платежа определяется с помощью известной функции распределения:

Аналогично определяем функцию величины профицита и математическое ожидание этой величины, как зависимости от значения I:

,

В итоге, подбираем значение товарного запаса I, удовлетворяющее следующим неравенствам (или показываем, что выдвинутые требования слишком жесткие и противоречат друг другу):

Данная задача естественным образом обобщается на случай дискретных случайных величин, где нужно построить две вспомогательные функции распределения – для величин дефицита и профицита, а для вычисления математических ожиданий используется суммирование. Так как однотипные суммирования (вычисления линейных комбинаций вектора, содержащего вероятности всех возможных запросов х со значениями величины P (I, x) = (I – x))приходится проводить многократно, для этой работы полезно использовать средства автоматизации вычислений.

Дата добавления: 2014-12-27