Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Проверка эмпирического распределения на его соответствие нормальному распределению 1 страница




 

Есть целый ряд методик, позволяющих проверить, значимо ли отличается исследуемое эмпирическое распределение от нормального. Эти методы описаны в специальной литературе по математической статистике. Представляется, что наиболее быстро и достаточно надежно можно сопоставить эмпирическое распределение с нормальным, выполнив следующие шаги:

1) построить полигон (или гистограмму) распределения и убедиться, что он напоминает колоколообразную кривую;

2) сравнить эмпирическое распределение с нормальным с помощью критерия c2 Пирсона по формуле

где fi - эмпирическая частота для интервала квантования, ft - теоретическая частота для того же интервала. Критерий Пирсона позволяет сопоставлять значимость отличия эмпирической частоты интервалов квантования с теоретической частотой для тех же интервалов.

Из свойств стандартного нормального распределения известно, какая часть испытуемых должна попадать в тот или иной интервал z-оценок в случае нормального распределения параметра. Можно подобрать граничные значения z, которые будут делить стандартное нормальное распределение на равные части; удобно, если таких частей будет 5 или 4. Так, интервалы z-оценок от -¥ до -0.85, от -0.85 до -0.25, от -0.25 до +0.25, от +0.85 до +0.25 и +0.85 до +¥ делят стандартное нормальное распределение на 5 частей по 20% значений в каждой(N/5, где N - общее количество испытуемых) (таблица2 Приложения). Величина N/5 представляет собой теоретическую (ожидаемую) частоту ft для интервалов квантования. Рассчитав z-оценки испытуемых исследуемой выборки, мы можем узнать, сколько испытуемых фактически имеют z-оценки от - ¥ до -0.85, сколько от -0.85 до -0.25, сколько от -0.25 до +0.25, сколько от +0.25 до +0.85 и сколько испытуемых попадает в интервал z-оценок от +0.85 до +¥. Полученные 5 чисел представляют собой эмпирическую частоту fi для каждого из интервалов квантования. Зная fi и ft можно рассчитать эмпирическое значение параметра c2.

Порядок действий при сравнении эмпирического распределения с нормальным следующий:

1. Рассчитать среднее арифметическое Мх и среднеквадратическое отклонение выборки s.

2. Рассчитать z-оценки испытуемых по формуле

3. Подсчитать количество испытуемых, имеющих z-оценки от - ¥ до -0.85, от -0.85 до -0.25, от -0.25 до +0.25, от +0.25 до +0.85 и от +0.85 до +¥..

4. Рассчитать теоретическую частоту для интервалов квантования ft=N/5.

5. Сформулировать нулевую и альтернативную гипотезы:

Н0: Распределение случайной величины не отличается значимо от нормального распределения.

Н1: Распределение случайной величины значимо отличается от нормального распределения.

6. Рассчитать эмпирическое значение критерия c2 и сравнить его с критическим значением, взятым из таблицы с учетом числа степеней свободы n=k-3, где k - число интервалов квантования (в нашем случае k=5). При n=2 и доверительной вероятности 95% c2кр=5.99, при доверительной вероятности 90% c2кр = 4.61, а при 1-a = 80% c2кр=3.22 (Таблица 3 Приложения). Поскольку при сравнении эмпирического распределения с нормальным исследователь заинтересован не допустить ошибку второго рода b, то для повышения надежности вывода следует принимать по возможности более низкий уровень доверительной вероятности. Если эмпирическое значение оказывается меньше критического, то принимается нулевая гипотеза: распределение признается не отличающимся значимо от нормального и для него можно использовать параметрические критерии.

Задача: Можно ли использовать для приведенной ниже выборки данных, характеризующих уровень социальной активности студентов в группе, состоящей из 26 человек, параметрические критерии?

14, 17, 26, 9, 21, 12, 17, 18, 11, 20, 18, 17, 25, 19, 15, 29, 16, 18, 24, 17, 16, 10, 11, 26, 14, 16.

Гистограмма для данной выборки имеет следующий вид (взяты интервалы [8-10], [11-13], [14-16], [17-19] и т.д.):

Рис. 5. Гистограмма распределения уровня социальной активности студентов.

 

Среднее арифметическое значение выборки 17.54, дисперсия 27.138, стандартное отклонение 5.209. Расчет стандартизированных значений приводится в таб. 8.

Таблица 8.

Х Х-Мх (Х-Мх)2 Z=(Х-Мх)/s Х Х-Мх (Х-Мх)2 Z=(Х-Мх)/s
  -8,54 72,905 -1,64   -0,54 0,290 -0,10
  -7,54 56,828 -1,45   -0,54 0,290 -0,10
  -6,54 42,751 -1,26   0,46 0,213 0,09
  -6,54 42,751 -1,26   0,46 0,213 0,09
  -5,54 30,675 -1,06   0,46 0,213 0,09
  -3,54 12,521 -0,68   1,46 2,136 0,28
  -3,54 12,521 -0,68   2,46 6,059 0,47
  -2,54 6,444 -0,49   3,46 11,982 0,66
  -1,54 2,367 -0,30   6,46 41,751 1,24
  -1,54 2,367 -0,30   7,46 55,675 1,43
  -1,54 2,367 -0,30   8,46 71,598 1,62
  -0,54 0,290 -0,10   8,46 71,598 1,62
  -0,54 0,290 -0,10   11,46 131,367 2,20

 

Сформулируем нулевую и альтернативную гипотезы:

Н0: Распределение случайной величины не отличается значимо от нормального распределения.

Н1: Распределение случайной величины значимо отличается от нормального распределения.

В интервале от -¥ до -0.85 фактически находится 5 стандартизированных значений, в интервал от -0.85 до -0.25 попадает 6 значений, интервал от -0.25 до +0.25 включает 7 значений, в интервале от +0.25 до +0.85 мы имеем 3 значения и, наконец, в интервал от +0.85 до + ¥ попадает 5 значений. Теоретическая частота для каждого интервала равна 26/5=5.2.

Значение

c2эмп = (5-5,2)2+(6-5,2)2+(7-5,2)2+(3-5,2)2+(5-5,2)2 = 1,692
5,2

 

Критическое значение критерия c2 при a=0.20 составляет 3.22 (таблица 3 Приложения), эмпирическое значение 1.692 меньше критического, то есть мы можем принять нулевую гипотезу (a=0.20). Ответ задачи можно сформулировать следующим образом: «Использовать параметрические критерии для исследуемой выборки возможно, поскольку распределение случайной величины не отличается значимо от нормального (a=0.20)».

Проверкой распределения на соответствие его нормальному типу посуществу заканчивается стадия подготовки данных. Результатом такой подготовки должна явиться таблица исходных данных, сопровождаемая параметрами распределения. Для распределений, близких к нормальному, внизу таблицы указываются среднее арифметическое, дисперсия и (или) стандартное отклонение. Если распределение отличается значимо от нормального, то следует указать медиану Ме и межквартильное отклонение q, которые более полно характеризуют центральную тенденцию и рассеивание таких распределений. Межквартильное отклонение q, рассчитывается по формуле

 

где Q1 и Q3 - соответственно первый и третий квартиль.

Далее, в зависимости от

· характера поставленной задачи,

· объема выборок,

· типа выборок (зависимые или независимые),

· свойств распределений (нормальное или отличное от него)

выбирается критерий для ее решения. Параметрические критерии следует использовать только при достаточном объеме (более 15-20 испытуемых) и нормальном распределении обоих выборок. Во всех остальных случаях лучше использовать непараметрические методы.

 


Таблица 9.

Классификация задач и рекомендуемые методы их решения

Вид задачи Условия Метод решения Ограничения использования метода
Выявление сходства- различия в уровне исследуемого признака Две независимые выборки испытуемых t - критерий Стьюдента 1. Признак должен быть измерен в шкале отношений или интервалов, 2. Распределение признака должно относиться к нормальному типу (см. c2 --критерий Пирсона) 3. Дисперсии выборок должны быть равны (см. F-критерий Фишера) 4. Необходимо достаточно большое количество испытуемых в каждой выборке (рекомендуется не менее 16).
    U - критерий Манна-Уитни* 1. Выборки должны относиться к сходному типу распределения (см. c2 - критерий Пирсона), 2. Количество испытуемых в каждой выборке от 3 до 60, 3. Признак может быть измерен в шкале рангов, интервалов или отношений
  три или более независимых выборок Т-критерий Вилкоксона для множественных сравнений 1. Количество испытуемых в группе от 3 до 25, количество групп от 3 до 10 Признак может быть измерен в шкале рангов, интервалов или отношений
Сравнение уровня признака в выборке со средним значением генеральной совокупности или с нормативным значением одна выборка испытуемых t - критерий Стьюдента 1. Признак должен быть измерен в шкале отношений или интервалов
Установление сходства-различия дисперсий признака Две независимые выборки испытуемых F - критерий Фишера Признак должен быть измерен в шкале отношений или интервалов
Оценка сдвига значений исследуемого признака два замера на одной и той же выборке испытуемых t - критерий Стьюдента 1. Признак должен быть измерен в шкале отношений или интервалов. 2. Распределение признака должно быть нормальным (см. c2 - критерий Пирсона) 3. Достаточное количество испытуемых (рекомендуется не менее 16).
    Т - критерий Вилкоксона для попарных сравнений 1. Количество испытуемых от 5 до 50 Признак может быть измерен в шкале рангов, интервалов или отношений  
  три и более замеров на одной и той же выборке L - критерий тенденций Пейджа 1. Количество испытуемых от 2 до 12, количество замеров от 3 до 6 2. Признак может быть измерен в шкале рангов, интервалов или отношений.
Выявление различий в распределении признаков Сопоставление эмпирического распределения с нормальным. c2 - критерий Пирсона 1. Признак должен быть измерен в шкале отношений или интервалов.
Сопоставление эмпирического распределения равномерным c2 - критерий Пирсона 1. Признак может быть измерен в шкале рангов, интервалов или отношений
  Сопоставление двух эмпирических распределений между собой l- критерий Колмогорова-Смирнова 1. Оба признака должны быть измерены в шкале рангов, либо в метрических шкалах (шкале интервалов или отношений).
  Два признака, измеренные в шкале наименований c2 - критерий Пирсона  
  Два признака, измеренные в шкале отношений или в интервальной шкале rxy - коэффициент линейной корреляции Пирсона 1. Распределение обоих признаков должно относится к нормальному типу, 2. Количество измерений должно быть достаточно большим (рекомендуется не менее 16)
Исследование взаимосвязи признаков Признаки измерены в шкале рангов, либо в шкале интервалов, ли-бо в шкале отношений rs - коэффициент ранговой корреляции Спирмена  
  Один из признаков измерен в дихотомической шкале, а другой - в шкале отношений или в интервальной шкале rpb - точечно-бисериальный коэффициент корреляции 1. Распределение признака, измеренного в шкале отношений или в интервальной шкале, должно относиться к нормальному типу 2. Количество измерений признака должно быть достаточно большим (рекомендуется не менее 16)
Корреляция иерархий признаков Два профиля (две иерархии) признаков в шкале рангов rs - коэффициент ранговой корреляции Спирмена  
* - курсивом выделены непараметрические методы

 


7.2 Сравнение среднего значения некоторой выборки со средним значением генеральной совокупности или с нормативным значением

 

Для решения задачи такого рода используется один из вариантов t-критерия Стьюдента. Формула t-критерия в этом случае имеет следующий вид:

где Мх - среднее значение для исследуемой выборки, m - среднее значение для генеральной совокупности, s - стандартное отклонение и N - количество измерений в выборке. Число степеней свободы определяется по формуле n = N-1. Если tэмп< t кр, то принимается нулевая гипотеза об отсутствии значимых различий между средними арифметическими значениями выборки и генеральной совокупности, а если

t эмп> t кр, то принимается альтернативная гипотеза.

Задача: Для проверки знаний учащихся по иностранному языку использован специальный тест. Полученные нами результаты - 13, 17, 15, 23, 27, 29, 18, 27, 20, 24. Нормативное значение для данного теста составляет 18 баллов (данное значение является средним арифметическим значением генеральной совокупности, имеющей нормальное распределение). Можно ли признать выполнение теста группой в целом успешным?

Сумма значений выборки равна 213, среднее арифметическое 21.3, дисперсия D=30.46, стандартное отклонение s=5.52. Проверяемая нулевая гипотеза Н0 заключается в том, что среднее значение выборки значимо не выше нормативного. Альтернативная направленная гипотеза Н1: количество баллов, набранных учащимися значимо выше нормативного.

Эмпирическое значение t-критерия равно

= 1.890  

 

Полученный результат t=1.890 превышает табличное критическое значение, соответствующее 9 степеням свободы и a=0.05 для одностороннего критерия (tкр=1.83). Это значит, что мы можем принять альтернативную гипотезу и признать, что результаты выполнения теста группой выше нормативных.

Ответ: работу преподавателя английского можно признать успешной, поскольку результаты, показанные его учениками выше нормативных (a=0.05).

 

7.3 Сравнение уровня признака в независимых выборках

 

Сравнение уровня признака в двух независимых выборках можно выполнить с помощью t-критерий Стьюдента (параметрический метод), либо с помощью критерия Манна-Уитни (непараметрический метод).

По t-критерию Стьюдента производится сравнение средних арифметических значений, то есть уровня признака, в двух независимых выборках с равной дисперсией и распределением случайной величины, соответствующим нормальному типу, Используется следующая формула t-критерия (здесь и ниже приводятся формулы критериев для малых выборок, то есть выборок с числом испытуемых менее 30):

где nx и ny - количество испытуемых в 1 и 2 выборках, Мх и Му - средние арифметические значения, sх и sу - стандартные отклонения соответственно в первой и второй выборках. Число степеней свободы n = nx+ ny - 2.

Равенство дисперсий проверяется по F-критерию Фишера:

F=s12/s22

За s12 принимается большее из двух значений дисперсии, поэтому значение Fэмп. всегда больше 1. Полученное значение Fэмп сравнивается с критическим (Таблица 4 Приложения). При пользовании таблицей 4 n1=n1-1, n2=n2-1, критическое значение берется из клетки, находящейся на пересечении соответствующих строки и столбца. Если эмпирическое значение меньше критического, то различие дисперсий признается статистически незначимым.

Критическое значение tкр определяется по таблицам (Таблица 5 Приложения) с учетом того, что критерий является двусторонним. Если t эмп³ t кр, то принимается альтернативная гипотеза.

В программе Microsoft Excel расчет эмпирического значения критерия Стьюдента выполняется с использованием встроенного «Двухвыборочного t-теста с одинаковыми дисперсиями». Для того чтобы воспользоваться встроенной функцией Microsoft Excel надо войти в раздел «Анализ данных» из меню «Сервис», где и выбрать «Двухвыборочный t-тест с одинаковыми дисперсиями». На экране высвечивается меню «Двухвыборочного t-теста с одинаковыми дисперсиями», в котором задаются интервалы обеих переменных, вероятность ошибки первого рода Альфа и выходной интервал (номер левой верхней ячейки выходного интервала). Входной интервал переменной задается через двоеточие, например интервал «a1:a24» включает в себя 24 значения переменной в столбце A с 1 по 24 ячейку. Если в первой строке интервала находится заголовок столбца (строки), то это следует указать в специальной ячейке меню. Гипотетическая средняя разность равна нулю по умолчанию. Выходные данные включают средние арифметические значения переменных в выборках, значения дисперсии, количество наблюдений в выборках, величину объединенной дисперсии, число степеней свободы, эмпирическое значение t-критерия и критические значения для одностороннего и двустороннего критериев.

Задача: В одной из школ Ленинградской области ученики 10 и 11 класса выполнили задания ШТУР (Школьный тест умственного развития). Различаются ли ученики 10 и 11 класса по уровню общей осведомленности?

Н0: показатели осведомленности учеников 10 и 11 класса значимо не различаются.

Н1: показатели осведомленности учеников 10 и 11 класса различаются значимо.

Таблица 10.

Сравнение показателей осведомленности по ШТУР учеников 10 и 11 классов одной из школ Ленинградской области (по t-критерию Стьюдента).
Результат ШТУР z-оценка испытуемого fэмп. по интервалам z Результат ШТУР z-оценка испытуемого fэмп. по интервалам z
  1,369194     1,632993  
  1,369194     1,020621  
  1,039268     1,020621  
  1,039268     0,714435  
  0,709341     0,714435  
  0,709341     0,408248  
  0,709341     0,408248  
  0,709341     0,102062  
  0,379415     0,102062  
  0,379415     -0,20412  
  0,049489     -0,51031  
  -0,28044     -1,12268  
  -0,61036     -1,12268  
  -0,61036     -1,42887  
  -0,61036     -1,73506  
  -0,61036        
  -0,94029        
  -0,94029        
  -1,93007        
  -1,93007        
Среднее арифметическое Мх=15.85 Дисперсия s2=9,19 Стандартное отклонение s =3,031 Среднее арифметическое Мх=14,67 Дисперсия s2=10,67 Стандартное отклонение s =3,266
Проверка распределений результатов ШТУР на соответствие нормальному распределению:
c2эмпир.= (4-4.00)2 + (6-4.00)2 + (1-4.00)2 + (5-4.00)2 + 4.00 4.00 4.00 4.00 + (4-4.00)2 = 3.50 4.00 c2эмпир.(3.50) < c2кр.(5.99), следовательно, распределение не отличается значимо от нормального (a=0.05), и к нему могут быть применены параметрические критерии. c2эмпир.= (3-3.00)2 + (4-3.00)2 + (3-3.00)2 + (1-3.00)2 + 3.00 3.00 3.00 3.00 + (4-3.00)2 = 2.00 3.00 c2эмпир.(2.00) < c2кр.(5.99), следовательно, распределение не отличается значимо от нормального (a=0.05), и к нему могут быть применены параметрические критерии.
Проверка равенства дисперсий: Fэмп=10.67/9.19=1.161. Fкр.=2.32 при a=0.05 Fэмп<Fкр. Þ может быть использован критерий Стьюдента для двух выборок с равными дисперсиями.
  = 1.106 n=33. tкр.= 2.03 (a=0.05)  
t эмп. < t кр. Þ принимается нулевая гипотеза Н0. Ответ: уровень осведомленности учеников 11 класса не отличается значимо от такового у учеников 10 класса (a=0.05).
             

 

Применение критерия Стьюдента связано с целым рядом ограничений - соответствие обоих распределений нормальному типу, равенство дисперсий распределений, достаточные объемы выборок. Если для решения поставленной задачи использовать параметрический критерий Стьюдента нельзя, то следует воспользоваться его непараметрическим аналогом - критерием Манна-Уитни. Для применения непараметрического критерия Манна-Уитни требуется лишь, чтобы оба распределения относились к сходному, а не обязательно к нормальному типу, кроме того, признак может быть измерен не только в шкале отношений или интервалов, но и в шкале рангов.

Что особенно ценно, критерий Манна-Уитни применим при малых количествах наблюдений в выборках: в каждой выборке должно быть не менее 3 наблюдений. Допускается также, чтобы в одной из выборок было 2 наблюдения, но при этом в другой их должно быть не менее 5. Максимальное число наблюдений в выборках 60, для большего числа наблюдений нет таблиц критических значений. Но уже когда число наблюдений свыше 20 в каждой выборке, расчет критерия становится достаточно трудоемким для расчетов на калькуляторе.

Порядок действий при расчете эмпирического значения критерия следующий:

1. Проранжировать все измерения, объединив результаты двух выборок. Правила ранжирования следующие:

· Наименьшему значению из всех присваивается ранг 1, наибольшему - n1+n2.

· Если два или большее количество значений равны, то для них рассчитывается средний ранг. Например, если три наименьших значения в выборке равны, то их средний ранг был бы (1+2+3)/3=2. А если равны 10 и 11 значения, то их средний ранг (10+11)/2=10.5.

2. Подсчитать сумму рангов отдельно для первой (SR1) и для второй (SR2) выборки. Проверить, совпадает ли общая сумма рангов с расчетной по формуле SR1+SR2=N(N+1)/2, где N= n1+n2 - общее число ранжируемых значений.

3. Рассчитать эмпирические значения критерия Манна-Уитни для выборок:

U1= n1.n2+ n1 (n1+1)/2 - SR1

U2 = n1.n2 + n2(n2+1)/2 - SR2

4. Проверить правильность расчета с помощью выражения U1+U2= n1.n2.

5. Эмпирическим значением является меньшее из двух рассчитанных значений. Оно сопоставляется с критическими значениями, приведенными в таблице 6 Приложения для a=0.05 и a=0.01. Чем меньше значение U, тем выше достоверность различий, а значит, если Uэмп³Uкрит, то принимается нулевая гипотеза Н0, если Uэмп<Uкрит, то принимается альтернативная гипотеза.

Задача: В одной из школ Ленинградской области ученики 10 и 11 класса выполнили задания ШТУР (Школьный тест умственного развития).

Результаты тестирования

10 класс: 20, 21, 20, 14, 14, 20, 11, 17, 14, 15, 10, 6, 7, 10, 10.

11 класс: 23, 23, 20, 23, 23, 20, 22, 21, 19, 16, 15, 14, 17, 21, 16, 14, 13, 12, 12, 16.

Различаются ли ученики 10 и 11 класса по способности классификации?

 

Н0: способности классификации учеников 10 и 11 класса значимо не различается.

Н1: показатели способности классификации учеников 10 и 11 класса различаются значимо.

Таблица 11

Сравнение способности классификации по результатам ШТУР у юношей – учеников 10 и 11 классов (по критерию Манна-Уитни)  
10 класс 11 класс  
Исходные данные Ранг Исходные данные Ранг  
         
         
         
         
         
         
      7,5  
      7,5  
         
         
         
         
         
         
  15,5      
      15,5  
         
         
         
      20,5  
  20,5      
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
      33,5  
      33,5  
      33,5  
      33,5  
Сумма        
Проверка: Общая сумма рангов 197+433=630. N (N+1)/2=35х36.3=630, т.е. ранжирование выполнено верно. U1=20х15+15x16/8-197=223 U2=20x15+20х21/2-433=77 Проверка: U1+U2=300. n1x n2=300  
Uэмп. = 77; Uкр.= 80. Uэмп.< Uкр.Þ принимается альтернативная гипотеза Н1 . Ответ: способность к классификации (по результатам ШТУР) у учеников 11 класса отличается значимо от таковой у учеников 10 класса.
           

Иногда исследователю приходится сравнивать не две, а несколько выборок: три, четыре и более. В таких случаях возможно попарное сравнение всех выборок по критерию Стьюдента или Манна-Уитни, но быстрее и проще использовать достаточно простой непараметрический критерий, представляющий собой одну из модификаций критерия Вилкоксона - Т-критерий Вилкоксона для множественных сравнений. Критерий может использоваться при количестве условий (то есть сравниваемых выборок) от 3 до 10, количество испытуемых в каждой выборке от 3 до 25. Важно, чтобы выборки были равными по численности. Если исходные выборки различаются по численности, то их следует уравнять, отбросив случайным образом из больших по объему выборок «лишние» значения.




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-12-27; Просмотров: 3605; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.057 сек.