III. Применение правила Лопиталя

Любая из неопределённостей может быть сведена к или , а для раскрытия этих неопределённостей существует правило Лопиталя.

Правило Лопиталя. Если при вычислении предела получается неопределённость или , и существует и равен А, то и предел существует и равен А.

Пример 17. Используя правило Лопиталя, вычислить предел

Подставив вместо нуль, убеждаемся в том, что имеем неопределённость типа . Поэтому можно попытаться применить правило Лопиталя, т.е. найти предел отношения производной числителя данной дроби к производной знаменателя.

.

Можно ещё раз применить правило Лопиталя, а можно вынести в числителе и применить первый замечательный предел.

Поскольку предел отношения производных существует, то предел отношения функций также существует и равен полученному значению. То есть,

Пример 18. Найти предел используя правило Лопиталя.

Подставив вместо x единицу, и помня, что , получаем неопределённость .

Её нужно преобразовать к виду или и, лишь потом, применять правило Лопиталя.

Пример 19. Найти предел используя правило Лопиталя.

. Чтобы получить неопределенность или , нужно одну из функций или оставить в числителе, а вторую переместить в знаменатель. Если при применении правила Лопиталя выражение под знаком предела будет усложняться, то нужно вернуться к началу решения и поместить в знаменатель другую функцию.

.

Выражение под знаком предела становится более сложным. Поэтому оставим в числителе другой сомножитель.

Дата добавления: 2014-12-27